第1课时绝对值不等式最新考纲1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|
a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.[微点提醒]1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|，存在实数解，则实数a的取值范围是________.解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，要使原不等式有解，只需|a|≥3，即a≥3或a≤－3.答案(－∞，－3]∪[3，＋∞)3.(选修4－5P20习题T7改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为()A.[－2，1)∪[4，7)B.(－2，1]∪(4，7]C.(－2，－1]∪[4，7)D.(－2，1]∪[4，7)解析由题意得即解得不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．答案D4.(2019·南阳第一中学月考)不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是()A.[－5，7]B.[－4，6]C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)D.(－∞，＋∞)解析|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8>1⇒原不等式的解集为R，故选D.答案D5.(2019·榆林二模)已知函数f(x)＝|x－2|.(1)求不等式f(x)＋x2－4>0的解集；(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)0，解得x>2，当x<2时，不等式等价于2－x＋x2－4>0，解得x<－1.综上，原不等式的解集为{x|x>2或x<－1}.(2)问题等价于|x－2|＋|x＋7|<3m的解集非空， |x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9，∴3m>9，∴m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).6.(2019·东北三省三校模拟)已知不等式|2x－5|＋|2x＋1|>ax－1.(1)当a＝1时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为R，求a的取值范围.解(1)令f(x)＝|2x－5|＋|2x＋1|，则f(x)＝|2x－5|＋|2x＋1|＝因为a＝1，所以当x≤－时，由－4x＋4>x－1，解得x≤－，当－＜x≤时，由6＞x－1，解得－＜x≤，当x＞时，由4x－4>x－1，解得x>.综上得，所求不等式的解集为R.(2)由(1)作函数f(x)的图像，点A，令y＝ax－1，则其过定点P(0，－1)，如图所示，由不等式|2x－5|＋|2x＋1|>ax－1的解集为R，可得－4≤a＜，即－4≤a＜.所以，所求实数a的取值范围为.考点一绝对值不等式的解法【例1－1】(2018·全国Ⅰ卷)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.解(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝则当x...
