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高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 高考专题突破一 高考中的导数应用问题（第2课时）导数与方程教案 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教案VIP免费

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第2课时导数与方程题型一求函数零点个数例1(2018·乌海模拟)已知函数f(x)＝2a2lnx－x2(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)．解(1) f(x)＝2a2lnx－x2，∴f′(x)＝－2x＝＝， x>0，a>0，当00，当x>a时，f′(x)<0.∴f(x)的单调递增区间是(0，a)，单调递减区间是(a，＋∞)．(2)由(1)得f(x)max＝f(a)＝a2(2lna－1)．讨论函数f(x)的零点情况如下：①当a2(2lna－1)<0，即00，即a>时，由于f(1)＝－1<0，f(a)＝a2(2lna－1)>0，f(e2)＝2a2ln(e2)－e4＝4a2－e4＝(2a－e2)(2a＋e2)，当2a－e2<0，即时，f(e2)≥0，而且f()＝2a2·－e＝a2－e>0，f(1)＝－1<0，由函数的单调性可知，无论a≥e2，还是a0)，由f′(x)＝0，得x＝e.1∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m>时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当02，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.当x∈∪时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．2(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x11.由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以0)，...
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