高三数学理科新课极限的四则运算，函数的连续性一.本周教学内容：高三新课：极限的四则运算，函数的连续性二.本周教学重、难点：1.函数在一点处连续2.函数在开区间，闭区间上连续3.连续函数的性质（1）若与在处连续，则，，（）在处也连续。（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。【典型例题】[例1]求下列极限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式[例2]求下列各数列的极限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式[例3]已知数列是正数构成的数列，，且满足，其中是大于1的整数，是正数。（1）求的通项公式及前项和；（2）求的值。解：（1）由已知得∴是公比为的等比数列，则（2）①当时，原式②当时，原式③当时，原式[例4]判定下列函数在给定点处是否连续。（1）在处；（2），在处。解：（1），但故函数在处不连续（2）函数在处有定义，但，即故不存在，所以函数在点处不连续。[例5]已知函数，试求：（1）的定义域，并画出的图象；（2）求，，；（3）在哪些点处不连续。解：（1）当，即时，当时，不存在当时，当时，即或时，∴∴定义域为（）（），图象如图所示（2）∴不存在（3）在及处不连续∵在处无意义时，即不存在∴在及处不连续[例6]证明方程至少有一个小于1的正根。证明：令，则在（0，1）上连续，且当时，。时，∴在（0，1）内至少有一个，使即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于1的正根。[例7]函数在区间（0，2）上是否连续？在区间[0，2]上呢？解：（且）任取，则∴在（0，2）内连续，但在处无定义∴在处不连续，从而在[0，2]上不连续[例8]假设，在上不连续，求的取值范围。解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义，必有，因为，，所以，所以，若不连续，则且。[例9]设（1）若在处的极限存在，求的值；（2）若在处连续，求的值。解：（1），，因为在处极限存在，所以，所以，即（2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且，由（1）知，且，又，所以。【模拟试题】一.选择题：1.已知，则下列结论正确的是（）A.B.不存在C.=1D.=2.的值为（）A.5B.4C.7D.03.的值为（）A.1B.0C.D.4.的值为（）A.B.C.1D.5.若，则的取值范围是（）A.B.C.D.6.若在上处处连续，则常数等于（）A.0B.1C.2D.7.在点处连续是在点处连续的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.的不连续点是（）A.无不连续点B.C.D.二.解答题：1.求下列极限：（1）（2）（3）2.为常数，1，求。3.已知（1）在处是否连续？说明理由；（2）讨论在和上的连续性。[参考答案]http://www.dearedu.com/一.1.B2.C3.C4.B5.C6.C7.A8.D二.1.解：（1）（2）①当时，∴②当时，∴③当时，（3）2.解：∵∴∴，3.解：（1）∵，则∴∵，且∴∵∴不存在∴在处不连续（2）∵∴在上是不连续函数∵∴在上是连续函数。坚强地百折不挠地挺住，这就是成功的秘密。
