高三数学数学归纳法及应用举例（3）一、教学目标：1．会用数学归纳法证明整数（整式）整除问题；2．会用数学归纳法证明一些简单的几何问题；3．了解数学归纳法应用的广泛性，进一步掌握数学归纳法的证明步骤；4．培养分析、归纳、猜想的能力，了解归纳演绎的辩证思想．二、教学重点：数学归纳法的在其他方面应用．教学难点：数学归纳法的综合应用．三、教学用具：投影仪四、教学过程：1．复习旧课，提出任务①数学归纳法证明有哪些步骤？②数学归纳法通常解决什么问题？（与正整数有关命题）指出：数学归纳法在证明整除和某些几何问题中有重要作用。出示课题：数学归纳法证明整除问题与几何问题。2．进行整除问题的教学①什么是整除？对于整数，如果为整数，则称能被整除；对于多项式，如果为整式，则称能被整除（多媒体或幻灯展示）。②出示例题（教科书习题2.1中5（3））：用数学归纳法证明：能被14整除。分析能被14整除是什么意思？用数学归纳法证明此题有几个步骤？证明：（ⅰ）当时，∴当时，能被14整除。（ⅱ）设时，能被14整除。那么当时（想一想，为什么这样变形？）（想一想，为什么这样变形？）能被14整除，56能被14整除，能被14整除，即时，命题成立。根据（ⅰ）、（ⅱ）可知，能被14整除。〔反思〕佛一步中754较大，若初始值提前，会不会使计算简单一些？影不影响证明？为什么把变形为，而不变形为呢？证明中还有一个关键是拆项：81＝25＋56，怎么想到的？首先是想到81中要拆出一个25来，才能和后面一项提取公因式而得到这个式子，从而用上归纳假设．当然也可拆25，25＝81－56（这些技巧的揭示，也可在证题过程中完成，而在反思中强调）．③例2：用数学归纳法证明：能被整除．〔分析〕：第一步验算容易，重点是探讨传递性证明，也就是利用能被整除，证明能被整除．应变形为什么？呢？这样变形之后是如何进一步得出的因式的？上题是拆项，本题是添项，添什么项？如何保证变形为恒等变形？第二教育网版权所有证明过程见教科书第66页例4，证明可让学生在议论中尝试完成，教师巡视中发现成功的证法可用多媒体平台投影展示．〔反思〕还有其他添项方法吗？添减行吗？能被整除吗？能被整除吗？如何证明？能被整除吗？如何证明？3．进行有关几何问题的教学（若本课时拆分成两课时，则从此开始属第二课时）出示例3（教科书第66页例5）：平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点个数为教师讲解题意，借助多媒体教学手段突破难点，寻找递推关系．图形1234分析中应多研究几种简单的具体情况（先画图，再思考）．由变到时，增加的钱用红色表示，以形成鲜明效果．特别要突出新增的个交点之由来，这是本题关键，教师教学中要反复印证，准确叙述．证明过程见教科书第66页例5．证后要让学生反思证明的思路，特别是要体会递推关系的发现心得．4．课堂练习：教科书第67页练习4．本题证明中应抓住边形和边形内角和的递推关系这一关键．应注意，学生在本题证明中，有可能出现不同归纳假设的情况，应注意讲清道理，给予纠正五、布置作业教科书习题2.1第5（1）（4）、6、7题．第二教育网版权所有
