第2讲不等式的证明1．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．3．数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较以便确定解题方向．对于任意的x、y∈R，求证|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.证明：根据绝对值的几何意义，可知|x－1|＋|x|≥1，|y－1|＋|y＋1|≥2，所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.若a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求证：＋≥8.证明：因为a＋b＝1，所以a2＋2ab＋b2＝1.因为a>0，b>0，所以＋＝＋＝1＋＋＋1＋＋＝2＋＋≥2＋2＋2＝8.若x，y，z∈R＋，且x＋y>z，求证：＋>.证明：因为x＋y>z，所以x＋y－z>0.由分数性质得<＝.因为x>0，y>0，所以＝＋<＋.所以＋>.若a>b>1，证明：a＋>b＋.证明：a＋－＝a－b＋＝.由a>b>1得ab>1，a－b>0，所以>0.即a＋－>0，所以a＋>b＋.比较法证明不等式[典例引领](2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.【解】(1)f(x)＝当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；当－＜x＜时，f(x)＜2；当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|.比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论．(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．[提醒](1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．[通关练习]1．若a，b∈R＋，证明：(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．证明：因为(a＋b)(a5＋b5)－2(a6＋b6)＝a6＋a5b＋ab5＋b6－2a6－2b6＝a5b＋ab5－a6－b6＝a5(b－a)＋b5(a－b)＝(a－b)(b5－a5)．当a>b>0时，a－b>0，b5－a5<0，有(a－b)(b5－a5)<0.当b>a>0时，a－b<0，b5－a5>0，有(a－b)(b5－a5)<0.当a＝b>0时，a－b＝0，有(a－b)(b5－a5)＝0.综上可知(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．2．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：abba≤(ab).证明：＝ab－ba－＝.当a＝b时，＝1；当a>b>0时，0<<1，>0，<1.当b>a>0时，>1，<0，<1.所以abba≤(ab).用综合法、分析法证明不等式[典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.【证明】法一：(综合法)(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋·(a＋b)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.法二：(分析法)(1)因为a>0，b>0，a3＋b3＝2.要证(a＋b)(a5＋b5)≥4，只需证(a＋b)(a5＋b5)≥(a3＋b3)2，再证a6＋ab5＋a5b＋b6≥a6＋2a3b3＋b6，再证a4＋b4≥2a2b2，因为(a2－b2)2≥0，即a4＋b4≥2a2b2成立．故原不等式成立．(2)要证a＋b≤2成立，只需证(a＋b)3≤8，再证a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8，再证ab(a＋b)≤2，再证ab(a＋b)≤a3＋b3，再证ab(a＋b)≤(a＋b)(a2－ab＋b2)，即证ab≤a2－ab＋b2显然成立．故原不等式成立．分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．[通关练习]1．设x≥1，y≥1，求证：x＋y＋≤＋＋xy.证明：由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[...
