后继函数与极限环的稳定性VIP免费

后继函数与极限环的稳定性1Poineare映射与后继函数设平面系统,,,kdxPxydtPQCdyQxydt（1）k为足够大的正数，并设是系统(1)的一条闭轨线，其方程为,xxtyytxt与yt是周期为T的函数.在上任意一点0P作的外法向量，在的足够小的邻域,U内的法线短设为AB，选取AB上任意一点0Q,B并设从0P到0Q的有限距离为0n，由解对初值的连续依赖性可知，从0Q出发的轨线环绕闭轨一周后，必将再次与法线短AB相交于1Q点。记0P与1Q的有向距离为n，于是n将是0n的函数，并记为0nnn，如图(1)所示。Aܲ�଴ܲ�଴ܲ�ଵܤ图1定义1称1Q为0Q的后继点;0nn为后继函数，有时也称00Nnnnn为后继函数。当后继函数00Nn时，即0nnn表示过0Q点的轨线是一条闭轨线。通过对后继函数的几何理解，很容易得出下列有关极限环稳定性的重要结论若对法线段AB上任意一点均有000nNn或'00N，则为不稳定的极限环；若000nNn或'00N，则为稳定的极限环；若0000Nnn，则为外稳定而内不稳定的半稳定极限环；若0000Nnn，则为外不稳定而内稳定的半稳定极限环；若00Nn，则为周期环。根据后继函数0Nn的零点个数，可以定义极限环的重数定义2若'k-1000=0,00kNNNN则称为k重极限环。特别地，1k称为单重极限环或简单极限环。显然这里的k重极限环对应于后继函数的k重根。通过后继函数0Nn在零点泰勒展开很容易的到这个结论。2曲线坐标与极限环的稳定性设有系统(1)的闭轨线，逆时针方向，其房程为,xftygtf与g均为周期为T的周期函数.在的足够小的邻域,U内，建立曲线坐标如下图2，,QU，过Q点作的法线与相交于P点。取法线方向向外为正。在任意固定一点0P作为度量弧长的起点，顺时针方向为正，并记弧长0PPs，法线上的有向距离PQn。于是U,内的点Q与数组,sn构成一一对应的关系，称,sn为Q点的曲线坐标。ܲ�଴ܲ�ܲ�ܲ�߬�଴ܲ�图2设Q点的直角坐标为,xy，曲线坐标为,sn，以弧长s为参数的参数方程为,0xsyssl，其中l为的弧长，从而P点的直角坐标为,ss.在P点的单位法向量为0'',nss，于是'',PQnss�又由于OQOPPQ�所以可以得到直角坐标与曲线坐标的关系''0xsnsslysns（2）从而可以利用公式(2)把给定的直角坐标下的坐标,xy转化为曲线坐标下的坐标,sn，得到'''''''',QPnPQdnFsndsPQ(3)显然极限环对应于它的零解0n，并将上式分离出线性项得',0dnFsnonds其中2'''2200000000'322200,0yyxxnPQPQPQQPFsHxPQ(4)所以方程(3)的一次近似方程为dnHsnds（5）方程(5)满足初始条件00nn的解为00expsnnHudu从而对极限环的稳定性，有如下定理定理1当00sHsds时极限环是稳定的；当00sHsds时，极限环是不稳定的，其中l是极限环的弧长.证对足够小邻域内的任意一点0n，考虑后继函数000000exp1lNnnnnnHsdson显然，当000lHsds时，有0000nNn，从而是稳定（不稳定）极限环。对于定理1，里面表达式是在曲线坐标下的，用起来不方便，现在把它转化为直角坐标下的表达式，有如下定理定理2若沿着系统(1)的极限环有000TPQdtxy则的极限环是稳定（不稳定），其中T是极限环的周期证明过程利用曲线坐标与直角坐标的关系就可以直接得到定理中的两式子是相等.定义3沿系统（1）闭轨线的下述表达式001TPQhdtTxy称为的特征值数，其中T是极限环的周期显然，当000h时，极限环的稳定（不稳定）。由以上讨论容易看出，是单重极限环的充要条件是其特征值数00h，事实上，由单重极限环的定义可知'00,N其...