第四节复数的概念及其运算考点串串讲1．复数的概念(1)虚数单位i的规定：①i2＝－1②i可以与实数进行四则运算．(2)形如a＋bi(a，b∈R)的数，叫复数，全体复数所组成的集合叫复数集，一般用字母C表示．(3)复数a＋bi(a，b∈R)叫复数的代数形式，a与b分别叫复数的实部与虚部，复数通常用z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R，以后说复数a＋bi时，都有a，b∈R)．(4)复数的分类复数a＋bi由复数的分类可得：实数集R是复数集C的真子集，即RC.2．两复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，特殊的有a，b∈R时，a＋bi＝0⇔a＝0，b＝0.(1)运用复数相等的定义解题时，必须分别清楚两个复数的实部与虚部，然后再运用实部与虚部分别对应相等解题．(2)两个复数相等的定义，是把复数问题实数化的重要手段之一，由一个复数相等的等式，可得到两个实数等式组成的方程组，从而可以用有关方程组的知识解决问题．3．复数的几何表示复数的几何表示就是指用复平面内的点Z(a，b)来表示复数z＝a＋bi，其中复数z＝a＋bi中的z，书写时用小写，复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时要大写．关于复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应关系，应注意：(1)复数z＝a＋bi用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内纵坐标(或虚轴)上的单位长度是1，而不是i.由于i＝0＋1·i，所以用复平面内的点(0,1)表示i时，这点与原点的距离为1，等于纵轴(或虚轴)上的单位长度．(2)当a＝0时，对任何b≠0，a＋bi＝0＋bi是纯虚数，所以纵轴(或虚轴)上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．只有当a＝b＝0时，a＋bi是实数，即纵轴(或虚轴)上的点只有原点表示实数0.(3)共轭复数与共轭虚数对于共轭复数，当虚部b＝0时，实数a与实数a也是共轭复数；当虚部b≠0时，a＋bi与a－bi也叫做共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情形．两共轭复数在复平面上对应的点关于实轴对称．4．复数的模向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(绝对值)，记作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝r＝.5．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除法运算按以下法则进行．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i用心爱心专心1z1÷z2＝＝＋i(z2≠0)这些法则可以理解为关于i的二项式的四则运算，将－1代换i2后，再合并同类项；除法要先分母实数化再计算分子．(2)在进行复数运算时，熟记下列诸式的结果，有助于简化运算过程①(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2；②(1±i)2＝±2i；③＝i，＝－i；④i的平方根是±(＋i)，－i的平方根是±(－＋i)，1的立方根是1，－±i；－1的立方根是－1，±i；⑤设ω为1的立方虚根，则有ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0，ω2＝ω.⑥i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，(n∈N)．⑦in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，(n∈N)．6．复数加减法的几何意义①复数加法的几何意义复数z1＋z2是以OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形对角线OZ所对应的复数．②复数减法的几何意义复数Z1－Z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量Z2Z1所对应的复数．复数的加减法与向量的加减法相类似．③复平面内两点间的距离公式：d＝|z1－z2|.其中z1、z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1和Z2之间的距离．7．复数的性质(1)复数的大小性质；两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小．如果两复数可以比较大小就隐藏着这两复数都是实数这一条件．(2)共轭运算的性质：①＝±；②＝·；③()＝(z2≠0)；④z＝z；⑤若z∈R⇔z＝z；⑥若z≠0，则z为纯虚数⇔z＋z＝0.(3)模运算的性质：|z1·z2|＝|z1|·|z2|，||＝(z2≠0)，|z|2＝|z|2＝z·z.|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.8．复数集上的方程问题在复数集C中解方程，一般可以考虑以下几种方法：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，从而转化为关于x，y的实数方程．(2)复数集上的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有以下两种情况．①系数是实数...
