第4讲基本不等式1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.()(2)ab≤成立的条件是ab>0.()(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．()(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(教材习题改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82解析：选C.xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.若x<0，则x＋()A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.若x>1，则x＋的最小值为________．解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．答案：5(教材习题改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．答案：25m2利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：(1)求不含等式条件的函数最值；(2)求含有等式条件的函数最值；(3)已知不等式恒成立求参数范围．[典例引领]角度一求不含等式条件的函数最值(1)函数f(x)＝(x>0)的最大值为________．(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．【解析】(1)因为x>0，则f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时等号成立．(2)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.【答案】(1)(2)1角度二求含有等式条件的函数最值(1)(2017·高考山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．(2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________．【解析】(1)由题设可得＋＝1，因为a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8.故2a＋b的最小值为8.(2)因为x>0，y>0，所以8＝x＋2y＋x·2y≤(x＋2y)＋，令x＋2y＝t，则8≤t＋，即t2＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8，即x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．【答案】(1)8(2)4角度三已知不等式恒成立求参数范围已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．【解析】(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a>0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立．所以a≥4.【答案】4利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．[通关练习]1．(2018·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________．解析：因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，则＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2.当且仅当＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．答案：5＋22．(2017·高考天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．解析：因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，...
