6.2.4向量的数量积教学设计课题6.2.4向量的数量积单兀第六单兀学科数学年级高一教材分析本节内容是平面向量的数量积运算运算，由功的概念导入，学习平面向量的数量积运算以及运算律这些知识点，同时根据将向量的线性运算与向量的数量积运算进行对比分析。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用功的定义将平面向量的数量积运算具体化；2•逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；3.数学建模：掌握平面向量数量积运算及其运算律；4.直观想象：利用数的运算及运算律推导平面向量的数量积运算及运算律；5.数学运算:能够正确计算和判断向量的数量积；6.数据分析:通过经历提出问题一推导过程一得出结论一例题讲解一练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点向量的夹角、投影定义，数量积定义、性质以及运算律难点数量积定义、性质以及运算律教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课情境导入：我们一起来看一下物理中功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W=|F||s|cos0,其中0是F与s的夹角学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。e思考1：前面我们学习了向量的加、减运算。类比数的运算，那么向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？由功的概念可知，功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。由此，我们引入“数量积”的概念。讲授新课知识探究（一）：向量的夹角两亍耶零向盛区利鼻柞％i=JUIZAOB=o已知（0。<0<180。）叫做向■如的夹臥记作0=（a,b'?二特殊情况1学生根据功的定义探究平面向量的夹角以及数量积运算。利用功的定义探究得出平面向量的夹角以及数量积运算，培养学生探索的精神.Oa例1:解:a•b=a例2：Bb1earAaA当e=0。，向量同向特殊情况2b.aBO特殊情况3A当e=180。，向量反向e=90。，向量垂直记作a丄b规定：零向量与任—向量垂直。注意：计算向量的夹角时，要将两个向量起点放在一起.小试牛刀b0。J60。a40b140°(2)ab180。90。⑹⑷知识探究（二）思考：根据功的定义，你能推导出数量积的定义吗？它和向量的加、减以及数乘运算有什么区别？数量积定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为e，我们把数量bcose叫做向量a与b的数量积（或内积），记做a•b（5）:数量积的定义即a•b=abcose，e=:;a,b）规定：零向量与任一向量的数量积为0.对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。例题讲解已知a=5，b|=4，与/的勺夹角e=严，求a•b"r”2冗bcose=5x4xcos~3-=-10设a=12,,=9,,•b=-54*2,求a与b的夹角学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量的数量积的性通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.解：由a•b=^Iblcos。，得因为0GIO,兀］所以0=辺4知识探究（三）：投影（或射影）的定义如图，设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A，B，得到AB,我们称上述变换为a向b11_11投影，B叫做a在b上的投影向量。11a-ACAbBD11如图，在平面内任取一点O，作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线，垂足为M，则OM就是a在b上的投影向量。设与b方向相同的单位向量为《，与5的夹角为0,思考：那么OM：与e,a,0之间有怎样的关系？由图得,OM与e共线，即OM=Xe11由此可得数量积的几何意义：ta-b等于a的长度IaI与b在a的方向上的投影|bIcosO的乘积。小试牛刀如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,ZABC=30°,D为BC的中点.⑴求BA在CD上的投影向量;⑵求CD在BA上的投影向量.总结:求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及tiI)c-54二12x9两向量的夹角.知识探究（四）：数量积的性质思考：设与b方向相同的单位向量为0,与5的夹角为0,那么OM】与e,a,0之间有怎样的关系?OM‘与e共线即OM‘=九e116当0为锐角时,OM与e方向相同，°0ai1cos0cos0eb—»NOM1（4当0=0时，九=”所以”M]=ah=|OMJ所以OM]=OMe=|a|（5）当0二兀时，九二ae=^1cos0e-|a所以|OM=-|a|e=|a|cos兀e由以上5种情况可得:对于任意的0wb,兀]都有OM=acos0e...
