五年高考真题分类汇编：平面向量、数系的扩充与复数的引入一．选择题1.（·湖南高考理）复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】选B本小题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，属容易题． z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．2.（·湖南高考理）已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．[1，＋2]【解析】选A本小题主要考查单位向量和向量的模的概念、向量垂直的条件，考查转化化归、数形结合、特殊与一般等数学思想．由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝，故由几何性质得－1≤|c|≤＋1，即－1≤|c|≤＋1.3.（·福建高考理）已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】选D本题考查复数的共轭复数的概念与复数的几何意义等基础知识，意在考查考生对概念的理解与应用能力． ＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴复数z在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限．4.（·福建高考理）在四边形ABCD中，AC―→＝(1,2)，BD―→＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.B．2C．5D．10【解析】选C本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况．依题意得，AC―→·BD―→＝1×(－4)＋2×2＝0.所以AC―→⊥BD―→，所以四边形ABCD的面积为|AC―→|·|BD―→|＝××＝5.5.（·辽宁高考理）复数z＝的模为()A.B.C.D．2【解析】选B本题主要考查复数的运算以及复数的概念，意在考查考生的运算能力和对复数的四则运算法则的掌握情况．由已知，得z＝＝－－i，所以|z|＝.6.（·辽宁高考理）已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB―→同方向的单位向()A.B.C.D.【解析】选A本题主要考查向量的坐标表示．由已知，得AB―→＝(3，－4)，所以|AB―→|＝5，因此与AB―→同方向的单位向量是AB―→＝.7.（·安徽高考理）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则Z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋ID．－1－i【解析】选A本题考查了复数的代数运算、共轭复数和复数相等的概念，意在检测考生对基础知识和基本技能的掌握．设出复数的代数形式，利用复数相等直接求解．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.8.（·浙江高考理）已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝（）A．－3＋iB．－1＋3iC．－3＋3iD．－1＋i【解析】选B本题主要考查复数的概念、复数的乘法运算法则，考查考生的运算能力．按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.9.（·浙江高考理）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB―→·PC―→≥P0B―→·P0C―→，则（）A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC【解析】选D本题主要考查平面向量的运算，向量的模、数量积的概念，向量运算的几何意义等，意在考查利用向量解决简单的平面几何问题的能力．设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(－2,0)，B(2,0)，则P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，∴PB―→＝(2－x,0)，PC―→＝(a－x，b)．∴P0B―→＝(1,0)，P0C―→＝(a－1，b)．则PB―→·PC―→≥P0B―→·P0C―→⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC.10.（·重庆高考理）在平面上，AB1―→⊥AB2―→，|OB1―→|＝|OB2―→|＝1，AP―→＝AB1―→＋AB2―→.若|OP―→|<，则|OA―→|的取值范围是（）A.B.C.D.【解析】选D本题考查向量问题和圆中的最值问题，意在考查考生的转化化归以及逻辑思维能力．由题意得点B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心半径为的圆内，又AB1―→⊥AB2―→，AP―→＝AB1―→＋AB2―→，所以点A在以B1B2为直...
