“2”道拉分题专练卷(一)1．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a>0，证明：当0f；(3)若函数y＝f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)<0.解：(1)f(x)的定义域为(0∞，＋)，f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0∞，＋)上单调递增；②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明：设函数g(x)＝f－f，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，g′(x)＝＋－2a＝.当00，而g(0)＝0，所以g(x)>0，故当0f.(3)证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y＝f(x)的图像与x轴至多有一个交点，故a>0，从而f(x)的最大值为f，且f>0.不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，0f(x1)＝0.从而x2>－x1，于是x0＝>.由(1)知，f′(x0)<0.2．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S两点，若线段RS的长为.(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(9，m)是直线x＝9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．解：(1)依题意，椭圆过点，故解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意知，直线QA的方程为y＝(x＋3)，代入椭圆方程，得(80＋m2)x2＋6m2x＋9m2－720＝0，设M(x1，y1)，则－3x1＝⇒x1＝，所以y1＝(x1＋3)＝＝，故点M的坐标为.同理，直线QB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程，得(20＋m2)x2－6m2x＋9m2－180＝0，设N(x2，y2)，则3x2＝⇒x2＝，所以y2＝(x2－3)＝＝－，故点N的坐标为.①若＝⇒m2＝40，直线MN的方程为x＝1，与x轴交于点(1,0)；②若m2≠40，直线MN的方程为y＋＝，令y＝0，解得x＝1.综上所述，直线MN必过x轴上的定点(1,0)．
