高考数二轮专题突破预测演练提能训练 第2部分 专题一 第四讲 数思想专练(四) 文（以真题和模拟题为例 含解析）VIP免费

[数学思想专练(四)]一、选择题1．若a>2，则关于x的方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有()A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根解析：选B设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上为减函数．又f(0)f(2)＝1×＝－4a<0，所以f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根．2.如图所示，已知三棱锥PABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥PABC的体积为()A．40B．80C．160D．240解析：选C因为三棱锥PABC的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，易知三棱锥PABC的各边分别是此长方体的面对角线，不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得⇒从而知VPABC＝VAEBGFPDC－VPAEB－VCABG－VBPDC－VAFPC＝VAEBGFPDC－4VPAEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.3．定义运算：(a⊕b)⊗x＝ax2＋bx＋2.若关于x的不等式(a⊕b)⊗x<0的解集为{x|10，解得x<－或x>1.4．已知＝(cosθ1,2sinθ1)，＝(cosθ2，2sinθ2)，若＝(cosθ1，sinθ1)，＝(cosθ2，sinθ2)，且满足·＝0，则S△OAB等于()A.B．1C．2D．4解析：选B由条件·＝0，可得cos(θ1－θ2)＝0.利用特殊值，如设θ1＝，θ2＝0，代入，则A(0,2)，B(1,0)，故面积为1.5．已知函数f(x)＝4sin2－2cos2x＋1且给定条件p“≤：x≤”，又给定条件q“：|f(x)－m|<2”，且p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A．(3,5)B．(－2,2)C．(1,3)D．(5,7)解析：选Df(x)＝4sin2－2cos2x＋1＝2－2cos2x＋1＝2sin2x－2cos2x＋3＝4sin＋3.令t＝2x≤－，当x≤时，f(x)＝g(t)＝4sint＋3≤，t≤，∴≤当x≤时，f(x)max＝7，f(x)min＝5. p是q的充分条件，∴对任意x∈，|f(x)－m|<2恒成立，即m－20，即(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0. 6m2－2m＋1>0，∴m<－.即当m<－时，抛物线上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，所以如果抛物线y＝x2上的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分，那么m≥－.二、填空题7.若x，y∈R，集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝(x，y)－＝1，a>0，b>0，当A∩B有且只有一个元素时，a，b满足的关系式是________．解析：A∩B有且只有一个元素可转化为直线－＝1与圆x2＋y2＝1相切，故圆心到直线的距离为＝1. a>0，b>0，∴ab＝.答案：ab＝8．(·呼和浩特模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a＋an，用[x]表示不超过x的最大整数，则＝________.……解析：因为＝＝－，所以＝－，所以＋＋＋＝＋＋＋＝－，又a1＝1，所以∈(0,1)，所以－∈(0,1)，故＝0.答案：09．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值等于________．解析：因为点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，所以点P与A、B、C共面，即点P在平面ABC内，所以||的最小值等于点O到平面ABC的距离，也就是正四面体的高，为.答案：三、解答题10．在长方形AA1B1B中，AB＝2AA1＝4，C，C1分别是AB，A1B1的中点(如图(1))．将此长方形沿CC1对折，使二面角A1CC1B为直二面角，D，E分别是A1B1，CC1的中点(如图(2))．(1)求证：C1D∥平面A1BE；(2)求证：平面A1BE⊥平面AA1B1B；(3)求异面直线C1D与BE所成角的正弦值．解：(1)证明：取A1B的中点F，连接DF，EF.因为D，F分别是A1B1，A1B的中点，所以DF是△A1BB1的中位线．所以DF∥BB1∥CC1，且DF＝BB1＝CC1.又因为E是CC1的中点，所以C1E＝CC1.所以DF∥C1E，且DF＝C1E.所以四边形C1EFD是平行四边形．所以C1D∥EF.又EF⊂平面A1BE，C1D⊄平面A1BE，所以C1D∥平面A1BE.(2)证明：因为CC1⊥A1C1，CC1⊥B1C1且A1C1∩B1C1＝C1，所以CC1⊥平面A1C1B1.因为BB1∥CC1，所以BB1...