[数学思想专练(一)]一、选择题1．(·青岛模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列{an}的公比为()A.B.C.D.解析：选B设等比数列的首项为a1，公比为q，则S1＝a1，S2＝a1＋a2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2.由S1,2S2,3S3成等差数列，得2×2S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，可得3q2－q＝0，得q＝0或q＝，因为q≠0，所以q＝.2．若a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是()A．(1，)B．(，)C．[，]D．(，)解析：选Be2＝2＝＝1＋2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以20恒成立，则x的取值范围为()A．(∞－，2)∪(3∞，＋)B．(∞－，1)∪(2∞，＋)C．(∞－，1)∪(3∞，＋)D．(1,3)解析：选C把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程并解得x<1或x>3.4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0解析：选B原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.5.如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S，当·＋S取得最大值时θ的值为()A.B.C.D.解析：选B·＋S＝||·||cosθ＋||·||sinθ＝cosθ＋sinθ＝sin，当θ＝时，·＋S取得最大值．6．(·西安模拟)已知函数f(x)＝cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m的值为()A.B．－C.D．－解析：选D假设方程f(x)＝m的两个实根x3－(2n＋1)．而－(2n＋1)≤－3，所以λ>－3.答案：(－3∞，＋)9．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．解析：设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数．又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，所以x<0时，F(x)为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x>0时，F(x)也是增函数．因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．所以F(x)<0的解集是(∞－，－3)∪(0,3)(如图)．答案：(∞－，－3)∪(0,3)三、解答题10．(·贵阳模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1)设公差为d，则有即解得或(舍去)，所以an＝3n－2.(2)Sn＝[1＋(3n－2)]＝，所以bn＝＝3n＋－1≥2－1＝23，当且仅当3n＝，即n＝4时取等号，故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.11．已知函数f(x)＝ax3＋(2－a)x2－x－1(a>0)．(1)若a＝4，求f(x)的单调区间；(2)设x1，x2,1为关于x的方程f(x)＝0的实根，若∈，求a的取值范围．解：(1)∵当a＝4时，f(x)＝4x3－2x2－x－1，∴f′(x)＝12x2－4x－1＝(6x＋1)(2x－1)，由f′(x)>0得x<－或x>，由f′(x)<0得－0，x1，x2为ax2＋2x＋1＝0的根，∴＝＋＋2＝＝.令t＝，u(t)＝t＋＋2，t∈，则u′(t)＝1－，∴u(t)在上递减，在[1,2]上递增，∴u(t)∈，即∈，故a∈.
