“4道”保分题专练卷(二)1．已知函数f(x)＝4sinωxcos＋(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．解：(1)f(x)＝4sinωx＋＝2sinωxcosωx－2sin2ωx＋＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin.∵T＝＝π，∴ω＝1.∴f(x)＝2sin.(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴－≤sin≤1，即－1≤f(x)≤2，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.2．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A.在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25＝40人．所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]＝2.9.(3)因为两科考试中，共有6个A，又恰有2人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目成绩等级为A.设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都为A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件M，所以事件M中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，故P(M)＝.3.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AC＝AA1＝2AB＝2，∠BAC＝90°，点D是侧棱CC1延长线上一点，EF是平面ABD与平面A1B1C1的交线．(1)求证：EF⊥A1C；(2)当∠DBC＝60°时，求三棱锥DABC的体积．解：(1)证明：依题意，有平面ABC∥平面A1B1C1，又平面ABC∩平面ABD＝AB，平面A1B1C1∩平面ABD＝EF，∴EF∥AB.∵三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，且∠BAC＝90°，∴AB⊥AA1，AB⊥AC.而AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC1A1.又A1C⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1C.∴EF⊥A1C.(2)∵AC＝2AB＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝＝，又∵∠DBC＝60°，∴＝tan60°，∴CD＝，∴S△ABC＝×1×2＝1，∴VDABC＝×1×＝.4．数列{an}是公差不小于0的等差数列，a1，a3是函数f(x)＝ln(x2－6x＋6)的零点，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－2bn(n∈N*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.解：(1)令f(x)＝0即ln(x2－6x＋6)＝0，则x2－6x＋6＝1，所以(x－1)(x－5)＝0，又∵d＞0，∴a1＝1，a3＝5.∴d＝＝2，∴an＝2n－1.∵Tn＝1－2bn(n∈N*)，∴b1＝.当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝2bn－1－2bn，∴bn＝bn－1，所以数列{bn}是等比数列，bn＝n－1.(2)cn＝(2n－1)··n－1＝·n－1，Sn＝＋，∴Sn＝＋，∴Sn＝＋－·(2n－1)·n，∴Sn＝5－(2n＋5)n(n∈N*)．
