“2”道拉分题专练卷(一)1．已知函数f(x)＝x(x2－ax－3)．(1)若f(x)在区间[1∞，＋)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在区间[1,4]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵f(x)＝x(x2－ax－3)，∴f′(x)＝3x2－2ax－3.∵f(x)在[1∞，＋)上是增函数，∴在[1∞，＋)上恒有f′(x)≥0，即3x2－2ax－3≥0在[1∞，＋)上恒成立．分离参数得a≤在[1∞，＋)上恒成立．∵当x≥1≥时，(1－1)＝0，∴a≤0，即实数a的取值范围为(∞－，0]．(2)由题意得f′＝0，即＋a－3＝0，∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x.令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－，x2＝3.当x在[1,4]上变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f′(x)－0＋f(x)－6－18－12∴f(x)在区间[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.(3)函数g(x)＝bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，即方程x3－4x2－3x＝bx恰有3个不相等的实根．显然x＝0是其中的一个根，∴方程x2－4x－3－b＝0有两个非零的不相等的实根．∴∴b>－7且b≠－3.∴存在满足条件的b，b的取值范围是(－7，－3)∪(－3∞，＋)．2．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆M交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．解：(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4，所以2a＋2c＝6＋4，又椭圆的离心率为，即＝，所以c＝a，所以a＝3，c＝2，所以b＝1，故椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)法一：不妨设BC的方程为y＝n(x－3)(n>0)，则AC的方程为y＝－(x－3)．由得x2－6n2x＋9n2－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3x2＝，所以x2＝，同理可得x1＝，所以|BC|＝·，|AC|＝·，S△ABC＝|BC||AC|＝，设t＝n≥＋2，则S△ABC≤＝＝，当且仅当t＝时等号成立，所以△ABC面积的最大值为.法二：不妨设直线AB的方程为x＝ky＋m.由消去x得(k2＋9)y2＋2kmy＋m2－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝－，y1y2＝.①因为以AB为直径的圆过点C(3,0)，所以·＝0.由＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，得(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝0.将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式，得(k2＋1)y1y2＋k(m－3)(y1＋y2)＋(m－3)2＝0.将①代入上式，解得m＝或m＝3(舍)．所以m＝(此时直线AB经过定点D，与椭圆有两个交点)，所以S△ABC＝|DC||y1－y2|＝××＝.设t＝，0
