限时集训(二十三)平面向量的概念及其线性运算(限时:50分钟满分:106分)一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分)1.如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b2.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2B,则()A.+=0B.+=0C.+=0D.++=03.(·杭州模拟)已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向4.已知向量p=+,其中a、b均为非零向量,则|p|的取值范围是()A.[0,]B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]5.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ=()A.B.C.-D.-6.已知四边形ABCD中,=,||=||,则这个四边形的形状是()A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形7.(·保定模拟)如图所示,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,则的值为()A.3B.C.2D.8.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且=2,=2,=2,则++与()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)9.已知m,n是实数,a,b是不共线的向量,若m(3a-2b)+n(4a+b)=2a-5b,则m=________,n=________.10.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________.(用a,b表示)11.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ、μ∈R,则λ+μ=________.12.设a,b是两个不共线的非零向量,若8a+kb与ka+2b共线,则实数k=________.13.(·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=________.14.如图,在等腰直角三角形ABC中,点O是斜边BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n(m>0,n>0),则mn的最大值为________.三、解答题(本大题共3个小题,每小题14分,共42分)15.已知P为△ABC内一点,且3+4+5=0,延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a、b表示向量,.16.设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,求证:A、C、D三点共线;(2)如果=e1+e2,=2e1-3e2,=2e1-ke2,且A、C、D三点共线,求k的值.17.设点O在△ABC内部,且有4++=0,求△ABC的面积与△OBC的面积之比.答案[限时集训(二十三)]1.B2.B3.D4.D5.A6.B7.B8.A9.解析:由题意知,(3m+4n-2)a+(-2m+n+5)b=0,∴解得答案:2-110.解析:由=3得4=3=3(a+b),=a+b,所以=(a+b)-=-a+b.答案:-a+b11.解析:∵=+,=+,∴λ=λ+λ.=+,∴μ=μ+μ,∴=+=+,则∴λ+μ=.答案:12.解析:因为8a+kb与ka+2b共线,所以存在实数λ,使8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a+(k-2λ)b=0.又a,b是两个不共线的非零向量,故解得k=±4.答案:±413.解析:由题目条件可知,M为△ABC的重心,连接AM并延长交BC于D,则=,因为AD为中线,则+=2=3,所以m=3.答案:314.解析:以A为原点,线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系,设三角形ABC的腰长为2,则B(0,2),C(2,0),O(1,1).∵=m,=n,∴M,N,∴直线MN的方程为+=1,∵直线MN过点O(1,1),∴+=1,得m+n=2,∴mn≤=1,当且仅当m=n=1时取等号,∴mn的最大值为1.答案:115.解:∵=-=-a,=-=-b,又3+4+5=0.∴3+4(-a)+5(-b)=0.∴=a+b.设=t(t∈R),则=ta+tb.①又设=k(k∈R),由=-=b-a,得=k(b-a).而=+=a+.∴=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②由①②得解得t=.代入①得=a+b.∴=a+b,=a+b.16.解:(1)证明:∵=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,∴=+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-,∴与共线.又∵与有公共点C,∴A、C、D三点共线.(2)=+=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,∵A、C、D三点共线,∴与共线,从而存在实数λ使得=λ,即3e1-2e2=λ(2e1-ke2),得解得λ=,k=.17.解:取BC的中点D,连接OD,则+=2,又4=-(+)=-2,即=-,∴O、A、D三点共线,且||=2||,∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点,∴S△ABC∶S△OBC=3∶2.