第五节椭圆[全盘巩固]1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.B.C.D.解析：选B由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，又因为e>0，故所求的椭圆的离心率为.2．(·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：选D在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.所以e＝＝＝.3．(·汕尾模拟)已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.4．(·衡水模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能解析：选A因为椭圆的离心率e＝，所以＝，即a＝2c，b＝＝＝c，因此方程ax2＋bx－c＝0可化为2cx2＋cx－c＝0又c≠0，∴2x2＋x－1＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝－x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝<2，即点(x1，x2)在x2＋y2＝2内．5．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝()A.B.C.D．4解析：选A因为椭圆＋y2＝1的一个焦点F1的坐标为F1(－，0)．过该点作垂直于x轴的直线，其方程为x＝－，联立方程解得即P，所以|PF1|＝，又因|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF2|＝4－＝.6．(·嘉兴模拟)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是()A.B.C.∪D.∪解析：选C在椭圆x2＋my2＝1中，当01时，a2＝1，b2＝，c2＝1－，e2＝＝＝1－，又，综上可知实数m的取值范围是∪.7．(·福建高考)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：如图，△MF1F2中， ∠MF1F2＝60°，∴∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，|MF2|＝c，∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，得e＝＝＝－1.答案：－18．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．解析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15.答案：159．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点．若＝3，则k＝________.解析：根据已知＝，可得a2＝c2，则b2＝c2，故椭圆方程为＋＝1，即3x2＋12y2－4c2＝0.设直线的方程为x＝my＋c，代入椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据＝3，得(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据韦达定理y1＋y2＝－，y1y2＝－，把－y1＝3y2代入得，y2＝，－3y＝－，故9m2＝m2＋4，故m2＝，从而k2＝2，k＝±.又k>0，故k＝.答案：10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，又e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．将直线方程y＝(x－3)代入椭圆C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝，x2＝，∴x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即线段AB中点坐标为.11．(·宁波模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直...
