第三节函数的奇偶性与周期性考点一函数奇偶性的判断[例1](1)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数(2)下列函数：①f(x)＝＋；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝ln.其中奇函数的个数是()A．1B．2C．3D．4[自主解答](1)由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数．(2)①f(x)＝＋的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数；②f(x)＝x3－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；③由x＋＞x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋)＝ln＝－ln(x＋)＝－f(x)，则f(x)＝ln(x＋)为奇函数；④由＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝ln的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，则f(x)为奇函数．[答案](1)B(2)D【互动探究】若将本例(2)中①“对应的函数改为f(x)”＝＋，试判断其奇偶性．解： 函数f(x)＝＋的定义域为{1}，不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．【方法规律】判断函数奇偶性的方法(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．(2)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝解：(1)由得，定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)由得，定义域为(－1,0)∪(0,1)．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.又 f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(∞－，0)∪(0∞，＋)，关于原点对称． 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.考点二函数奇偶性的应用[例2](1)(·湖南高考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1(2)(·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝()A．－5B．－1C．3D．4(3)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(∞－，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．[自主解答](1)由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有解得g(1)＝3.(2) f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③又 lg(log210)＝lg＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，∴f(lg(log210))＝f(－lg(lg2))＝5，又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.(3) y＝f(x)是R上的偶函数，且在(∞－，0]上是减函数，∴函数y＝f(x)在[0∞，＋)上是增函数．∴当a＞0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，当a＜0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以实数a的取值范围是(∞－，－2]∪[2∞，＋)．[答案](1)B(2)C(3)(∞－，－2]∪[2∞，＋)【互动探究】若本例(3)中的f(x)为奇函数，求实数a的取值范围．解：因为f(x)为奇函数，且在(∞－，0]上是减函数，所以f(x)在R上为减函数．又f(a)≥f(2)，故a≤2，即实数a的取值范围为(∞－，2]．【方法规律】与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关...
