第二节导数的应用(一)考点一利用导数研究函数的单调性[例1](·重庆高考改编)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[自主解答](1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0
3时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3∞，＋)上为增函数；当20(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．(3)由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)“”恒成立问题，要注意＝是否可以取到．已知函数f(x)＝－2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．解：(1)若a＝1，则f(x)＝3x－2x2＋lnx的定义域为(0∞，＋)，f′(x)＝－4x＋3＝＝(x>0)．当x∈(0,1)，f′(x)>0时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递增．当x∈(1，＋∞)，f′(x)<0时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1∞，＋)．(2)f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝－4x≥＋0或f′(x)＝－4x≤＋0，即－4x≥＋0或－4x≤＋0在[1,2]≥上恒成立．即4x－或≤4x－.令h(x)＝4x－，因为函数h(x)在[1,2]≥上单调递增，所以h(2)≤或h(1)≥，即或≤3，解得a<0或00，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9(3)(·福建高考)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．①当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；②求函数f(x)的极值．[自主解答](1)①当x<－2时，1－x>0. (1－x)f′(x)>0，∴f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函数．②当－20. (1－x)f′(x)<0，∴f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上是减函数．③当10，∴f′(x)<0，即f(x)在(1,2)上是减函数．④当x>2时，1－x<0. (1－x)f′(x)<0，∴f′(x)>0，即f(x)在(2∞，＋)上是增函数．综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值．(2) f′(x)＝12x2－2ax－2b，f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.(3)函数f(x)的定义域为(0∞，＋)，f′(x)＝1－.①当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处...
