第一节变化率与导数、导数的计算[全盘巩固]1．函数y＝x2cosx在x＝1处的导数是()A．0B．2cos1－sin1C．cos1－sin1D．1解析：选B y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，∴y′|x＝1＝2cos1－sin1.2．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于()A．0B．－1C.D．2解析：选Cf′(x)＝3x2－2tx－4，f′(－1)＝3＋2t－4＝0，t＝.3．(·丽水模拟)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A．1B．3C．－4D．－8解析：选C由题意得P(4,8)，Q(－2,2)． y＝，∴y′＝x，∴在P处的切线方程：y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.在Q处的切线方程：y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.∴A(1，－4)．4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析：选Ay′＝2x＋a，因为切线x－y＋1＝0的斜率为1，所以2×0＋a＝1，即a＝1.又(0，b)在直线x－y＋1＝0上，因此0－b＋1＝0，即b＝1.5．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2解析：选C y＝lnx的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2，∴切点为(2，ln2)．将其代入直线y＝x＋b得b＝ln2－1.6．(·杭州模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，如果f′(x)是二次函数，f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是()A.B.C.D.解析：选B由题意知f′(x)＝a(x－1)2＋(a>0)，所以f′(x)＝a(x－1)2≥＋，即tanα≥，所以α∈.7．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝alnx，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为________．解析：由题意可知f′＝x－|x＝＝g′＝，可得a＝，经检验，a＝满足题意．答案：8．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.答案：x－y－2＝09．(·金华模拟)若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有正实数解．又 f′(x)＝5ax4＋，∴方程5ax4＋＝0有正实数解．∴5ax5＝－1有正实数解．∴a<0.故实数a的取值范围是(∞－，0)．答案：(∞－，0)10．求下列函数的导数．(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(－2)2；(3)y＝x－sincos；(4)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.解：(1) y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2) y＝(－2)2＝x－4＋4，∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4×x－＝1－2x－.(3) y＝x－sincos＝x－sinx，∴y′＝x′′－＝1－cosx.(4)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx]′＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx. f′(x)＝xcosx，∴必须有即⇒a＝d＝1，b＝c＝0.11．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，又 直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3) 切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为...
