第二节空间几何体的表面积和体积考点一空间几何体的表面积[例1](1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋6B．30＋6C．56＋12D．60＋12(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[自主解答](1)该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，据正、俯视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，据侧视图知，BC＝4.综上所述，可知BC⊥平面PAB，PB＝＝5，PC＝＝＝，AC＝＝，PA＝＝2. PC＝AC＝，∴△PAC的边PA上的高为h＝＝6.∴S△PAB＝AB·PD＝10，S△ABC＝AB·BC＝10，S△PBC＝PB·BC＝10，S△APC＝PA·h＝6.故三棱锥的表面积为S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋6.(2)该几何体的直观图如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱．∴S表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.[答案](1)B(2)38【方法规律】空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是()A．372B．360C．292D．280解析：选B由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体． 下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又 长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.高频考点考点二空间几何体的体积1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属容易题．2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度：(1)求简单几何体的体积；(2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积．[例2](1)(·湖北高考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4(2)(·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3(3)(·江苏高考)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为________cm3.[自主解答](1)由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V1＝π×(12＋22＋1×2)×1＝π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V4＝×(22＋2×4＋42)×1＝，比较大小可知答案选C.(2)根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，则几何体的体积V＝6×6×3－××4×4×3＝100cm3.(3)由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则AC⊥BD.由面面垂直的性质定理，可证AO⊥平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为3×2＝6，从而VABB1D1D＝×OA×S长方形BB1D1D＝6.[答案](1)C(2)B(3)6空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．1．(·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A．4B.C.D．6解析：选B由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1...
