第二节空间几何体的表面积和体积[全盘巩固]1．设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于()A.B.C.D.解析：选D设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝a2，即a＝R，则＝＝.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.B.C.D．1解析：选B根据该三视图可知，该几何体是三棱锥，V＝××2＝.3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()A．24－B．24－C．24－πD．24－解析：选A据三视图可得该几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－×π×12×3＝24－.4．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A.cm2B.cm2C.cm2D.cm2解析：选C该几何体的上下部分为长方体，中间部分为圆柱．S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π××1－2×π2＝94＋.5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是()A．96B．16C．24D．48解析：选D如图设球的半径R，由πR3＝π，得R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4.∴V＝×(4)2×4＝48.6．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是()A．24cm2B.cm2C．(6＋2＋2)cm2D．(24＋8＋8)cm2解析：选D如图所示，依题意可知四棱锥PABCD是此几何体的直观图，在四棱锥PABCD中，平面PAB与底面ABCD垂直，底面ABCD是正方形，△PAD≌△PBC，△PAB是等腰三角形，设M是AB的中点，N是CD的中点，连接PM、PN、MN，由题知PM＝AB＝4，MN＝4，则PN＝4，故此几何体的表面积为S＝S正方形ABCD＋S△PAB＋2S△PBC＋S△PCD＝4×4＋×4×4＋2××4×2＋×4×4＝(24＋8＋8)cm2.7．(·新课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．解析：如图所示，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶2，所以OH＝R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由题意得πr2＝π，则r＝1，故R2＝1＋2，即R2＝.由球的表面积公式，得S＝4πR2＝.答案：8．(·杭州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．解析：据三视图可知该几何体为四棱锥，其中底面为正方形，对角线长为10，四棱锥的高为5，故侧面高为h′＝＝，因此表面积S＝×4×5×＋×10×10＝50(1＋)．答案：50(1＋)9．一个几何体的三视图如图所示，其中的长度单位为cm，则该几何体的体积为________cm3.解析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面直角梯形的上底为4cm，下底为5cm，高为3cm，四棱柱的高为4cm，所以该几何体的体积为×3×4＝54cm3.答案：5410.如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积．解：连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝a.由题意得，VC1B1EDF＝VB1C1EF＋VDC1EF＝·S△C1EF·(h1＋h2)＝a3.11．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.所以V＝1×1×＝.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.12.如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.记CD＝x，V(x)表示四棱锥FABCD的体积．(1)求V(x)的表达式．(2)求V(x)的最大值．解：(1) 平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD. BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，∴FA＝2，BD＝(0
