高考数一轮复习 第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切突破热点题型 文VIP专享VIP免费

考点一三角函数的化简求值[例1](1)(·重庆高考)4cos50°－tan40°＝()A.B.C.D．2－1(2)化简：(0＜θ＜π)．[自主解答](1)4cos50°－tan40°＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝.(2)原式＝＝＝.因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，故原式＝－cosθ.[答案](1)C【方法规律】1．三角函数式化简的原则“”三角函数式的化简要遵循三看原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征．2．解决给角求值问题的基本思路化简：(1)sin50°(1＋tan10°)；(2).解：(1)sin50°(1＋tan10°)＝sin50°(1＋tan60°tan10°)＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝＝1.(2)原式＝＝＝＝＝cos2x.考点二三角函数的条件求值[例2](1)(·浙江高考)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝()A.B.C．－D．－(2)(·广东高考)已知函数f(x)＝cos，x∈R.①求f的值；②若cosθ＝，θ∈，求f.[自主解答](1)法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－，代入tan2α＝，得tan2α＝－.法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sinα＝，cosα＝，这时sinα＋2cosα＝符合要求，此时tanα＝3，代入二倍角公式得到答案C.(2)①f＝cos＝cos＝cos＝1.②f＝cos＝cos＝cos2θ－sin2θ.因为cosθ＝，θ∈，所以sinθ＝－.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.所以f＝cos2θ－sin2θ＝－－＝.[答案](1)C【互动探究】保持本例(2)②条件不变，求f的值．解：因为θ∈，cosθ＝，所以sinθ＝－＝－＝－.所以f＝cos＝cos＝×＝cosθ＋sinθ＝－＝－.【方法规律】三角函数求值的两种类型①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．1．(·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________.解析：法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，因而sinθ＋cosθ＝sin＝－.法二：如果将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tanθ＝－.又因为θ在第二象限，则sinθ＝，cosθ＝－，从而sinθ＋cosθ＝－＝－.答案：－2．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．解： 0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，∴cos＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.高频考点考点三三角变换的综合应用1．三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据．高考常与三角函数的其他知识相结合命题，题目难度适中，为中档题．2．高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度：(1)与三角函数的图象和性质相结合命题；(2)与向量相结合命题；(3)与解三角形相结合命题(见本章第六节)．[例3](1)(·天津高考)已知函数f(x)＝－sin＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间上的最大值和最小值．(2)(·辽宁高考)设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.①若|a|＝|b|，求x的值；②设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[自主解答](1)①f(x)＝－sin2x·cos－cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.②因为f(x)在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又f(0)＝－2，f＝2，f＝2，故函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－2.(2)①由|a|2＝(sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.②f(x)＝a·b＝sinxcosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略(1)与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．(2)与向量相结合的综合问题．此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决．1．已知平面向量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，R是实数集，f(x)＝a·b＋4cos2x＋2sinxcosx，如果存在m∈R，任意的x∈R，f(x)≥f(...