考点一三角函数的化简求值[例1](1)(·重庆高考)4cos50°-tan40°=()A.B.C.D.2-1(2)化简:(0<θ<π).[自主解答](1)4cos50°-tan40°=4sin40°-======.(2)原式===.因为0<θ<π,所以0<<,所以cos>0,故原式=-cosθ.[答案](1)C【方法规律】1.三角函数式化简的原则“”三角函数式的化简要遵循三看原则,即一看角,二看名,三看式子结构与特征.2.解决给角求值问题的基本思路化简:(1)sin50°(1+tan10°);(2).解:(1)sin50°(1+tan10°)=sin50°(1+tan60°tan10°)=sin50°·=sin50°·====1.(2)原式=====cos2x.考点二三角函数的条件求值[例2](1)(·浙江高考)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()A.B.C.-D.-(2)(·广东高考)已知函数f(x)=cos,x∈R.①求f的值;②若cosθ=,θ∈,求f.[自主解答](1)法一:(直接法)两边平方,再同时除以cos2α,得3tan2α-8tanα-3=0,tanα=3或tanα=-,代入tan2α=,得tan2α=-.法二:(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记sinα=,cosα=,这时sinα+2cosα=符合要求,此时tanα=3,代入二倍角公式得到答案C.(2)①f=cos=cos=cos=1.②f=cos=cos=cos2θ-sin2θ.因为cosθ=,θ∈,所以sinθ=-.所以sin2θ=2sinθcosθ=-,cos2θ=cos2θ-sin2θ=-.所以f=cos2θ-sin2θ=--=.[答案](1)C【互动探究】保持本例(2)②条件不变,求f的值.解:因为θ∈,cosθ=,所以sinθ=-=-=-.所以f=cos=cos=×=cosθ+sinθ=-=-.【方法规律】三角函数求值的两种类型①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.1.(·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=________.解析:法一:由θ在第二象限,且tan=,因而sin=-,因而sinθ+cosθ=sin=-.法二:如果将tan=利用两角和的正切公式展开,则=,求得tanθ=-.又因为θ在第二象限,则sinθ=,cosθ=-,从而sinθ+cosθ=-=-.答案:-2.已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值.解: 0<β<<α<π,∴-<-β<,<α-<π,∴cos==,sin==,∴cos=cos=coscos+sinsin=×+×=,∴cos(α+β)=2cos2-1=2×-1=-.高频考点考点三三角变换的综合应用1.三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据.高考常与三角函数的其他知识相结合命题,题目难度适中,为中档题.2.高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度:(1)与三角函数的图象和性质相结合命题;(2)与向量相结合命题;(3)与解三角形相结合命题(见本章第六节).[例3](1)(·天津高考)已知函数f(x)=-sin+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R.①求f(x)的最小正周期;②求f(x)在区间上的最大值和最小值.(2)(·辽宁高考)设向量a=(sinx,sinx),b=(cosx,sinx),x∈.①若|a|=|b|,求x的值;②设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.[自主解答](1)①f(x)=-sin2x·cos-cos2x·sin+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2sin.所以f(x)的最小正周期T==π.②因为f(x)在区间上是增函数,在区间,上是减函数,又f(0)=-2,f=2,f=2,故函数f(x)在上的最大值为2,最小值为-2.(2)①由|a|2=(sinx)2+sin2x=4sin2x,|b|2=cos2x+sin2x=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x∈,从而sinx=,所以x=.②f(x)=a·b=sinxcosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+,当x=∈时,sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略(1)与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后借助三角函数图象解决.(2)与向量相结合的综合问题.此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题,然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决.1.已知平面向量a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),R是实数集,f(x)=a·b+4cos2x+2sinxcosx,如果存在m∈R,任意的x∈R,f(x)≥f(...