第六节几何概型[全盘巩固]1．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A“表示事件豆子落在正方形EFGH”内，则P(A)＝()A.B.C．2D.解析：选D豆子落在正方形EFGH内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH的边长是，则正方形EFGH的面积是2，又圆的面积是π，所以P(A)＝.2.如图，在矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.B.C.D.解析：选C不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝ab，由几何概型的概率公式可知P＝＝.3．(·辽宁高考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()A.B.C.D.解析：选C设AC＝xcm，则CB＝(12－x)cm(08或x<4，所以02或a<－1.故当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解．故所求概率为P＝＝＝0.7.5．(·长沙模拟)设不等式组表示的平面区域为D，在D内任取一点P(x，y)，若满足2x＋y≤b的概率大于，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(1∞，＋)D．(2∞，＋)解析：选C区域D表示以点O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)为顶点的正方形，其面积S1＝1.根据题意，b>0，设正方形OABC位于直线2x＋y＝b下方部分面积为S2，因为直线2x＋y＝b在x轴，y轴上的截距分别为，b，则当0，则b>1.6．(·湖南高考)“已知事件在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝()A.B.C.D.解析：选D依题可知，E，F是CD上的四等分点，P只能在线段EF上且BF＝AB.不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋2＝a2，即b2＝a2，故＝.7．在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y≤，则使1成立的概率为________．解析：D为直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝1围成的正方形区域，而d≤为由1，即x2＋y2≤1(x≥0，y≥0)围成的单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为＝＝.答案：8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是________．解析：要使S△PBC>S△ABC，只需PB>AB.故所求概率为P＝＝.答案：9．小张通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小张周末不在家看书的概率为________．解析：因为去看电影的概率P1＝＝，去打篮球的概率P2＝＝，所以小张周末不在家看书的概率为P＝＋＝.答案：10.如图，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.所以弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.11．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)：组别候车时间人数一[0,5)2二[5,10)6三[10,15)4四[15,20)2五[20,25]1(1)求这15名乘客的平均候车时间；(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．解：(1)×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝×157.5＝10.5，故这15名乘客的平均候车时间为10.5min.(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为＝，所以候车时间少于10分钟的人数为60×＝32.(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.从6人中任选2人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2...
