第一节平面向量的概念及其线性运算[全盘巩固]1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是()A．|a|＝|b|且a∥bB．a＝－bC．a∥bD．a＝2b解析：选D 表示与a同向的单位向量，∴a与b必须方向相同才能满足＝.2.(·绍兴模拟)已知如图所示的向量中，＝，用，表示，则等于()A.－B.＋C．－＋D．－－解析：选C＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.3.如图所示，点D，E，F分别为边BC，AC，AB的中点，点M是△ABC的重心，则＋－等于()A．0B．4C．4D．4解析：选C连接MF，则C，M，F三点共线，且＝2，∴＋－＝2－(－2)＝4.4．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：选A＝＋＋＝3a＋6b＝3.因为与有公共点A，所以A，B，D三点共线．5．设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为()A．3B.C．2D.解析：选A设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即2＋4＝0，所以＝－2，说明M，O，N三点共线，则O为中位线MN上靠近N点一个三等分点，S△AOC＝S△ANC＝×S△ABC＝S△ABC，所以＝3.6.(2014·石家庄模拟)已知：如图，||＝||＝1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，则等于()A.B.C.D．2解析：选D过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2CD，又 ＝λ，＝μ，∴λ||＝2μ||，即λ＝2μ，故＝2.7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________________(用a，b表示)．解析：由＝3，得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.答案：－a＋b8．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．解析：因为＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3<||<13.综上可知3≤||≤13.答案：[3,13]9．(·湖州模拟)如图，△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，则＋＝________.解析：由＋＋＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D，则＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.答案：610.如图，在梯形ABCD中，||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点．若＝e1，＝e2，用e1，e2表示，，.解：＝＝；＝＋＝－＋＝＋－＝－＝e2－e1；＝＋＋＝－－＋＝－＝e1－e2.11．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有解得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．12．已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0，延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a、b表示向量，.解： ＝－＝－a，＝－＝－b，又3＋4＋5＝0，∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，∴＝a＋b.设＝t(t∈R)，则＝ta＋tb.①又设＝k(k∈R)，由＝－＝b－a，得＝k(b－a)．而＝＋＝a＋.∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②由①②得解得t＝.代入①得＝a＋b.∴＝a＋b，＝a＋b.[冲击名校]1．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为()A.B.C.D.解析：选C令＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1－λ)＋λ；令＝μ，则＝＋＝＋μ＝＋μ＝μ＋(1－μ).由对应系数相等可得解得所以＝＋.2．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2·已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：选D根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根据＋＝2，得＋＝2.线段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是线段AB的中点，则c＝，代入＋＝2得，＝0，此等式不可能成立，故选...
