第二节等差数列及其前n项和考点一等差数列的判定与证明[例1]已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．[自主解答](1)证明： an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝，∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－，∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.设f(x)＝1＋，则f(x)在区间和上为减函数，∴当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.【方法规律】等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．若数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27.(1)求a1，a2的值；(2)记bn＝(an＋t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．解：(1)由a3＝27,27＝2a2＋23＋1，得a2＝9，由9＝2a1＋22＋1，得a1＝2.(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．则2b2＝b1＋b3，即2×(9＋t)＝(2＋t)＋(27＋t)，∴t＝1.∴bn＝(an＋1)．∴bn－bn－1＝(an＋1)－(an－1＋1)＝(2an－1＋2n＋1＋1)－(an－1＋1)＝an－1＋1＋－an－1－＝1.∴存在一个实数t＝1，使数列{bn}为等差数列．高频考点考点二等差数列基本量的计算1．等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．2．高考对等差数列基本量计算的考查常有以下几个命题角度：(1)化基本量求公差d或项数n；(2)化基本量求通项；(3)化基本量求特定项；(4)化基本量求前n项和．[例2](1)(·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4(2)(·安徽高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2(3)(·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．6(4)(·广东高考)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.[自主解答](1)法一：设等差数列{an}的公差为d，则即解得d＝2.法二：由等差中项的性质知，a3＝＝5，又 a4＝7，∴公差d＝a4－a3＝7－5＝2.(2)由等差数列前n项和公式知S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a7＋a2)，又S8＝4a3，∴4(a7＋a2)＝4a3，∴－2＋a2＝a3，∴公差d＝－2.∴a9＝a7＋2d＝－6.(3)法一： Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1，由Sn＝na1＋d＝na1＋，得由①得a1＝，代入②可得m＝5.法二： 数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，∴数列也为等差数列．∴＋＝，即＋＝0，解得m＝5.经检验为原方程的解．(4)由a3＝a－4，得到1＋2d＝(1＋d)2－4，即d2＝4，因为{an}是递增的等差数列，所以d＝2，故an＝2n－1.[答案](1)B(2)A(3)C(4)2n－1等差数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)化基本量求公差d或项数n.通项公式和前n项和公式是解决此类问题的基础和核心，在求解时，一般要运用方程思想．(2)化基本量求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素，只要把它们求出来，其余的元素便可以求出．(3)化基本量求特定项．利用通项公式或等差数列的性质求解．(4)化基本量求前n项和．直接将基本量代入前n项和公式求解，或利用等差数列的性质求解．1．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝，S4＝20，则S6＝()A．16B．24C．36D．48解析：选D设公差为d，由得则故S6＝6×＋×3＝48.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差为()A.B．1C．2D．3解析：选C Sn＝，∴＝，由－＝1，得－＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.3．已知数列{an}中，a1＝2，当n≥2时，an＝，则数列{an}的通项公式为________．解析：当n≥2时，an－1＝，两边取倒数，得＝＋，即－＝，所以数列是以为首项，为公差的等...
