第二节等差数列及其前n项和考点一等差数列的判定与证明[例1]已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．[自主解答](1)证明： an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝，∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1
又b1＝＝－，∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋
设f(x)＝1＋，则f(x)在区间和上为减函数，∴当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3
【方法规律】等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn
注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．若数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27
(1)求a1，a2的值；(2)记bn＝(an＋t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn}为等差数列
若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．解：(1)由a3＝27,27＝2a2＋23＋1，得a2＝9，由9＝2a1＋22＋1，得a1＝2
(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．则2b2＝b1＋b3，即2×(9＋t)＝(2＋t)＋(27＋t)，∴t＝1
∴bn＝(an＋1)．∴bn－bn－1＝(an＋1)－(an－1＋1)＝(2an－1＋2n＋1＋1)－(an－1＋1)＝an－1＋1＋－an－1－＝1
∴存在一个实数t＝1，使数列{bn}为等差数列．高频考点考点二等差数
