第二节等差数列及其前n项和[全盘巩固]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是()A.B．4C．－4D．－3解析：选B {an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27解析：选B设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得a1＝1，d＝2，则a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.3．(·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析：选D {an}是等差数列，∴设an＝a1＋(n－1)d. d>0，∴{an}是递增数列，故p1是真命题；nan＝dn2＋(a1－d)n的对称轴方程为n＝－.当－>时，由二次函数的对称性知a1>2a2，{nan}不是递增数列，p2是假命题；＝d＋，当a1－d>0时，是递减数列，p3是假命题；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d>0，{an＋3nd}是递增数列，p4是真命题．故p1，p4是真命题．4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.用Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A．21B．20C．19D．18解析：选B a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，∴3a3＝105,3a4＝99，即a3＝35，a4＝33.∴a1＝39，d＝－2，得an＝41－2n.令an≥0且an＋1≤0，n∈N*，则有n＝20.5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为()A.B.C.D．4解析：选A由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4，得＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.6．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0B．3C．8D．11解析：选B因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，故公差d＝＝2.于是b1＝－6，且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8.所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6…＝＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3…＋＋a7，则k＝________.解析：a1＋a2…＋＋a7＝7a1＋＝21d，而ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，所以(k－1)d＝21d，d≠0，故k＝22.答案：228．在等差数列{an}中，an>0，且a1＋a2…＋＋a10＝30，则a5·a6的最大值为________．解析： a1＋a2…＋＋a10＝30，即＝30，a1＋a10＝6，∴a5＋a6＝6，∴a5·a6≤2＝9.答案：99．已知等差数列{an}中，an≠0，若n>1且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n＝________.解析： 2an＝an－1＋an＋1，an－1＋an＋1－a＝0，∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0. an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：1010．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an>0，且Sn＝a＋an－.(1)证明：{an}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．∴4an＝a－a＋2an－2an－1.即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. an＋an－1>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.11．已知公差大于零的等差数列的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项公式an；(2)求Sn的最小值；(3)若数列是等差数列，且bn＝，求非零常数c.解：(1) 数列为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13，∴∴∴通项公式an＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，∴Sn＝na1＋×d＝2n2－n＝22－，∴当n＝1时，Sn最小，最小值为S1＝a1＝1.(3)由(2)知Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，∴b1＝，b2＝，b3＝. 数列是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即×2＝＋，∴2c2＋c＝0，∴c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－.12．已知数列{an}是等差数列，bn＝a－a.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)若a1＋a3＋a5…＋＋a25＝130，a2＋a4＋a6…＋＋a26＝143－13k(k为常数)，求数列{bn}的通项公式；(3...
