第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考点一四种命题的关系[例1](1)“命题若x＞1，则x＞0”的否命题是()A．若x＞1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0(2)“命题若x，y都是偶数，则x＋y”也是偶数的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[自主解答](1)“因为x＞1”“的否定为x≤1”“，x＞0”“的否定为x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”“的否命题为：若x≤1，则x≤0”．(2)“由于x，y”“都是偶数的否定表达是x，y”“不都是偶数，x＋y”是偶数的否定表达“是x＋y”“不是偶数，故原命题的逆否命题为若x＋y不是偶数，则x与y”不都是偶数．[答案](1)C(2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．解：逆命题：若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．是假命题．否命题：若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．是假命题．【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．1．命题p“：若a≥b，则a＋b＞2012且a＞－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2012或a≤－b，则a≤b解析：选C“”“”“且的否定是或，根据逆否命题的定义知，逆否命题为若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜b”．2．(·湖州模拟)下列命题中为真命题的是()A“．命题若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B“．命题若x＞1，则x2＞1”的否命题C“．命题若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D“．命题若x2＞0，则x＞1”的逆否命题解析：选AA“中逆命题为若x＞|y|，则x＞y”是真命题；B“中否命题为若x≤1，则x2≤1”是假命题；C“中否命题为若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题.考点二命题的真假判断[例2](1)下列命题是真命题的是()A．若＝，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则＝D．若x＜y，则x2＜y2(2)(·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④[自主解答](1)取x＝－1排除B；取x＝y＝－1排除C；取x＝－2，y＝－1排除D，故选A.(2)对于①，由线面垂直的判定可知①正确；对于②，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故②错误；对于③，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故③错误；对于④，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故④正确．综上可知，选D.[答案](1)A(2)D【方法规律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．给出下列命题：①函数y＝sin(x＋kπ)(k∈R)不可能是偶函数；②已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a∈R，a≠0)，则数列{an}一定是等比数列；③若函数f(x)的定义域是R，且满足f(x)＋f(x＋2)＝3，则f(x)是以4为周期的周期函数；④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中所有正确的命题有________(填正确命题的序号)．解析：①当k＝时，y＝sin(x＋kπ)就是偶函数，故①错；②当a＝1时，Sn＝0，则an的各项都为零，不是等比数列，故②错；③由f(x)＋f(x＋2)＝3，则f(x＋2)＋f(x＋4)＝3，相减得f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，③正确；④过两条异面直线...
