数学苏教版选修1-1 导数的概念—曲线的切线VIP专享VIP免费

导数的概念—曲线的切线【教学目标】1．了解曲线的切线的概念．2．掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．3．并会求曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程．【教学重点】理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义．光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．【教学难点】会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率．【内容分析】导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具．导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分．微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题．导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的．但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的．微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作．但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执．其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分．方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异．牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学．所以，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿．关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论．而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的．而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流．【教学过程】一、复习引入：圆与圆锥曲线的切线定义：与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线．二、讲解新课：１．曲线的切线如图，设曲线c是函数()yfx的图象，点00(,)Pxy是曲线c上一点．作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT．我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P处的切线．用心爱心专心116号编辑y=f(x)xyQMPxOyy=f(x)xyQMPxOy2．确定曲线c在点00(,)Pxy处的切线斜率的方法：因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan，即tan=0limxxy0limx00()()fxxfxx．我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率．那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了．三、讲解范例：例1．曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程．解：k=xxfxxfx)()(lim0002200(1)(1)(1)1(11)limlimxxfxfxxx200()2limlim(2)2xxxxxx．∴切线的斜率为2．切线的方程为y－2=2(x－1)，即y=2x．说明：点P（1，2）在曲线上．例2．求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程．解：k=xfxfxxfxxfxx)1()1(lim)()(lim0000用心爱心专心116号编辑y=x2+1y=2xP(1,2)xOyy=x3+2x+1y=5x-1P(1,4)xOy330(1)2(1)1(1211)limxxxx23053()()limxxxxx20lim[53()]5xxx∴切线的方程为y－4=5(x－1)，即y=5x－1．说明：点P（1，2）在曲线上．例3．求曲线f(x)=31x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角．分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线斜率，再根据斜率k=tanα，求出倾斜角α．解： tanα=xfxfxxfxxfxx)1()1(lim)()(lim000032011(1)(1)5(15)33limxxxx301()3limxxxx201lim[()1]13xx． α∈［0，π)，∴α=43π．∴切线的倾斜角为43π．例4．求曲线y=sinx在点(21,6)处的切线方程．解：k=xxxfxfxx6sin)6sin(lim)6()6(lim000131cossin222limxxxx001cos13sinlimlim22xxxxxx202sin132lim22xxx...