例谈法向量在立体几何中的应用对立体几何研究的一种重要思路是代数化，即用向量代数的方法来解决立体几何中的逻辑推理问题。相对于传统的求解立体几何的方法——几何法，向量法在求解立体几何问题时有着方便、快捷，不容易陷入思维障碍的优点。其中，法向量在解题时又起着举足轻重的作用。本文精选典型例题，对法向量在立体几何中的应用进行归纳、整理，以揭示解题规律、方法，供读者参考。1利用法向量证线面、面面的平行与垂直已知直线的方向向量为,平面的法向量为。（1）若证明线面平行，即证⊥；（2）若证明线面垂直，即证∥；（3）若证明面面平行，即证∥；（4）若证明面面垂直，即证明⊥。例1如图1，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，zBD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点。E求证：平面DEA⊥平面ECAMD解：如图，建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设CByCA=2，则CE=2，BD=1，C（0，0，0），xA图1A（，1，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），，，，设面CEA与面DEA的法向量是、，则有.＝0.＝0.＝0.＝0不妨取、， ，∴平面DEA⊥平面ECA.练习1：如图2，正方体棱长为.求证：平面AB1C∥平面；点评：注意平面法向量的求法。练习1用向量法AA1DCBB1C1D1xyz图2证明也许不如用几何法简洁，但它将逻辑证明转化为数值计算，降低了对空间想象能力要求的难度，是研究立体几何的一种有力工具。2利用法向量求角（1）求线面角如图3，已知AB为平面a的一条斜线，为平面a的一个法A向量，过A作平面a的垂线AO，连结OB则ÐABO为斜线AB和平面a所成的角，易知：sinÐABOOB特殊情况：当，则直线AB与平面垂直。图3例2已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角。解：如图4，建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，1）,由可解得＝（1，0，1）图4设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，故直线AE与平面ABC1D1所成的角为arcsin。练习2：（06浙江高考）如图5，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点，(Ⅰ)求证：PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角图5点评：求直线与平面所成角转化为求直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角。注意：线面角的范围：[0，]，而向量夹角的范围：[0，p]。(2)求二面角aEzxD1yAC1B1A1BDC图6图7在二面角中，分别是和的法向量，设二面角的大小为。如图6，则cos＝cos<>＝；如图7，则cos(p－)＝cos<>＝。例3在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.求二面角N—CM—B的余弦值。解：取AC中点O，连结OS、OB. SA=SC，BA=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO. 平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，如图8所示建立空间直角坐标系O－xyz.则O(0，0，0)，A（2，0，0），C（－2，0，0），S（0，0，2），M（1，3，0）∴，设=（x，y，1）为平面CMN的一个法向量，图8则∴可取=(1，，1)，又OS=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，∴cos(，OS)=||||OSnOSn=易知二面角N—CM—B的平面角是锐角，∴二面角N－CM－B的余弦值为练习3：（06年陕西高考）如图9,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求：二面角A1－AB－B1的大小。点评：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量所取的方向不同，所求出来的ABA1B1αβl图9ABCA1VB1C1图角度也不同，因此，最后所求角是<>还是它的补角，应根据所求二面角的实际图形来确定。3利用法向量求点面距离如图10，A是平面a外一点，AB是a的一条斜线，交平面α于点B，而是平面a的法向量，那么向量在方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h，则图10例4（06年福建高考）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。解：（I）略（II）以O为原点，如图11，建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为（III）设平面ACD的法向量为则图11令得，又点E到平面ACD的距离练习...
