1-7-1简单几何体的侧面积1．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为()．A．5B.C.D.＋1解析设底面边长为a，则由底面周长为4，得a＝1，SE＝＝.∴S侧＝×4××1＝.答案B2．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45°角，则这个圆台的侧面积是()．A．27πB．27πC．9πD．36π解析r′＝3，r＝6，l＝3，∴S侧＝π(r′＋r)l＝π(3＋6)×3＝27π.答案B3．正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的全面积之比为()．A．1∶B．1∶C．2∶D．3∶解析设正方体棱长为a，S正方体全面积＝6a2，正三棱锥侧棱长为a，则三棱锥全面积为S三棱锥全面积＝4××2a2＝2a2.∴＝＝.答案B4．若圆台的上、下底面半径和母线长的比为1∶4∶5，高为8，则其侧面积为________．解析设圆台上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，则r＝k，R＝4k，l＝5k(k>0)，则(5k)2－(3k)2＝82，∴k＝2，从而r＝2，R＝8，l＝10，S侧＝π(2＋8)×10＝100π.答案100π5．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图，则其表面积等于________．解析通过三视图还原三棱柱直观图如图，通过正视图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×＝6＋2.答案6＋26．正四棱锥底面正方形边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm2)．解正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴PE＝＝4(cm)，因此，S棱锥侧＝ch′＝×4×4×4＝32(cm2)．S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．7．圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为()．A．10cmB.cmC．5cmD．5cm解析如右图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长．∵AB＝BC＝5，∴＝×2π×＝π.∴AC＝＝＝5＝.答案B8．已知三棱锥ABCD的棱长都相等，且它的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于()．A.B.C.D.解析如图所示，∵正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H.∴四面体EFGH也是正四面体．连结AE并延长与CB交于点M，连结AF并延长与DC交于点N.连结MN，∵E、F分别为面的中心，∴＝＝，∴＝.又∵MN＝BD，∴＝.∵面积比是相似比的平方，∴＝.答案A9．直平行六面体底面是菱形，两个对角面的面积分别为Q1和Q2，则此平行六面体的侧面积为________．解析设侧棱为b，底面边长为a，则2＋2＝a2，∴Q＋Q＝4a2b2，∴S侧＝4ab＝2.答案210．把底面半径为8cm的圆锥放置在平面内，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点P滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________cm，表面积等于________cm2.解析圆锥在平面内绕其顶点滚动，相当于以顶点为圆心，以母线长为半径作圆的过程，回到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则周长之间便产生了关系，据此便可建立关系式解决问题．设圆锥的母线长为l，如图，以P为圆心，PA为半径的圆的周长C＝2πl.又圆锥的底面周长C1＝16π，根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴2πl＝2.5×16π.∴l＝20(cm)．圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2)．答案20224π11．圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是10cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100πcm2，求圆柱的底面半径和高．解设圆柱底面半径为rcm，高为hcm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的对角线长，则∴即圆柱的底面半径为5cm，高为10cm.12．(创新拓展)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短距离为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)此棱柱的表面积．解(1)正三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝.(2)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P移动到点P1的位置，连结MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．设PC＝x，即P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3＋x)2＋22＝29，求得x＝2，∴PC＝P1C＝2.∵＝＝，∴NC＝.(3)棱柱的表面积：S＝S侧＋2S底＝9×4＋2×××32＝.
