【创新设计】-学年高中数学2.1.1椭圆的定义与标准方程(一)活页训练湘教版选修1-11．下列说法正确的是()．A．已知F1(－5，0)，F2(5，0)，到F1，F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆B．已知F1(－5，0)，F2(5，0)，到F1，F2两点的距离之和为10的点的轨迹是椭圆C．到F1(－5，0)，F2(5，0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆D．到F1(－5，0)，F2(5，0)两点的距离之和等于点P(0，4)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆解析根据椭圆的定义判断，应特别注意定义中2a＞|F1F2|条件的利用．A中|F1F2|＝10，而到F1，F2两点距离之和为8＜10，所以点的轨迹不存在，故A错．B中|F1F2|＝10，所以到F1，F2两点距离之和为10的点的轨迹是线段F1F2，故B错．C中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故C错．D中点P到F1，F2的距离之和为＋＝2＞|F1F2|＝10，所以点的轨迹是椭圆，故选D.答案D2．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为()．A．2B．3C．5D．7解析由椭圆的方程知a＝5，∴2a＝10.根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a.∵其中一段长为3，∴另一段长为7.答案D3．椭圆3x2＋4y2＝12的两个焦点之间的距离为()．A．12B．4C．3D．2解析方程可化为＋＝1，则c2＝a2－b2＝1，∴c＝1，∴2c＝2.答案D4．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．解析由题意16＋m＞25－m＞0，∴＜m＜25.答案(，25)5．若α∈，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析转化为椭圆的标准方程＋＝1，焦点在y轴上，则>，则sinα>cosα，<α<.答案<α<6．已知椭圆经过点(，)和点(，1)，求椭圆的标准方程．解法一设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．∵点和点都在椭圆上，∴即∴∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.法二当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵点(，)和点(，1)在椭圆上，∴∴而a＞b＞0，∴a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在．当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵点(，)和点(，1)在椭圆上，∴∴∴所求椭圆的方程为＋x2＝1.7．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹是()．A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段解析|PF1|＋|PF2|＝a＋≥6.∴轨迹为线段或椭圆．答案D8．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()．A．2B．4C．8D.解析如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，从而有|ON|＝|MF2|.又|MF1|＝2，根据椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝8，从而有|ON|＝4.答案B9．若方程x2＋ky2＝5表示椭圆，则实数k的取值范围是__________．解析将椭圆的方程化为＋＝1，依题意得解得故实数k的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞)．答案(0，1)∪(1，＋∞)10．若椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，1)，那么k的值__________．解析由已知得：x2＋＝1，又焦点在y轴上，∴1＝－1，解得：k＝.答案11．已知周长为40的△ABC的顶点B、C在椭圆＋＝1(a>b>0)上，顶点A(6，0)是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC上，求椭圆的方程．解由椭圆的定义知：40＝|AB|＋|BC|＋|CA|＝4a，∴a＝10，而c＝6.∴b2＝a2－c2＝64.∴所求椭圆的方程为＋＝1.12.(创新拓展)如图，点P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．解在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2.∴c＝＝1.又∵点P在椭圆上，|∴PF1|＋|PF2|＝2a＝2.①由余弦定理知：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.②①式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，③③－②，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，|∴PF1|·|PF2|＝16(2－)，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin30°＝8－4.
