《高中数学研究性学习案例》一个高考概率题的探究与推广王跃进问题(2007年全国高考江西理科卷)将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（A）（B）（C）（D）解答案为B：．因为骰子6个面的点数构成集合，故掷骰子问题等价于从集合S中有放回地取数问题．从S中有放回地一次取一个数，连取三次，共有种结果．设A为“三次所取的数依次成等差数列”的事件，则公差必为整数．当d=0，1，2时，三项等差数列分别有6个，4个，2个；因为S中公差为正与公差为负的等差数列的个数相同，所以当d=－1，－2时，三项等差数列也分别有4个，2个；当|d|>2时，三项等差数列不存在．综上，事件A所含样本点数|A|=6+2(4+2)=18，故所求概率=．该题主要考查概率、等差数列、排列组合的基本知识，考用心爱心专心查运用分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力．下面的定理给出了问题的一般推广和计算方法与公式．定理从集合S={1，2，…，n}中有放回地一次取一个数连取k次（k＞1），则取出的k个数依次成等差数列的不同取法共有=n+×)｝种，k个数依次成等差数列的概率为．（符号表示不大于x的最大整数）证明设事件A为“取出的k个数依次成等差数列”，则公差必为整数，下面按公差=0,分别计算k项等差数列的个数．（1）若=0，即，它们可取1到n，故此时k项等差数列有n个；（2）若因，故①因，k＞1，所以，因为整数，故第2页共4页可取1，2，…，．这里符号表示不大于x的最大整数．当=1,由①式得，即首项可取1，2，…，,对于其中取定的每一个值，按公差=1可相应得到S中的一个以为首项的k项等差数列，故当=1时k项等差数列有个．当=2,由①式得2，即可取1，2，…，2，同=1的讨论可得，当=2时k项等差数列有2个．一般地，当公差为时（1），由①式可得S中的k项等差数列有个，在此式中令=1，2，…，，相加即得当时k项等差数列的个数=()+(2)+…+()；（3）若因为S中公差为正与公差为负的等差数列的个数相等，故当公差时，k项等差数列也有个.综上，相加即得S中的k项等差数列个数（设为），第3页共4页亦即事件A的样本数为=n+2=n+2｛()+(2)+…+()｝=n+×)｝因为从S中有放回地一次取一个数连取三次，共有个结果，故所求概率为.证毕.在定理中取,,即得本文开头的问题,因)}18,故所求概率=．第4页共4页
