第7讲正、余弦定理及应用举例一、选择题1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为()A.B.C.D.解析：由余弦定理得：cos∠BAC＝＝＝－.∴∠BAC＝.答案：A2．(·改编题)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a＝b，A＝2B，则cosB＝()A.B.C.D.解析：由正弦定理得：＝，又a＝b，A＝2B，∴＝，∴2cosB＝，∴cosB＝.答案：B3．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为()A．1B．2C.D.解析： S△ABC＝bcsinA＝×1×c×sin＝，∴c＝2，又a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋4－2×1×2cos＝3，∴a＝.答案：D4．(·山东烟台模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边，如果sin2(B＋C)
0.则cosA＝>0， 0.因此得角A的取值范围是.答案：D二、填空题5．(·安徽合肥质检)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则A的大小是________；AB＝________.解析： ＝，∴sinA＝，∴A＝45°或135°(舍去)，∴C＝180°－A－B＝75°. ＝＝，∴AB＝＋1.答案：45°＋16．(·情景创新题)年8月9日，莫拉克台风即将登陆福建省霞浦县，如图，位于港口O正东方向20海里的B处的渔船回港避风时出现故障．位于港口南偏西30°方向，距港口10海里的C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到达B处需要________小时．解析：由题意知，∠BOC＝120°，因为BC2＝OC2＋OB2－2·OC·OB·cos120°＝700，所以BC＝10，所以拖轮到达B处需要的时间t＝＝(小时)．答案：7．(·模拟精选)在△ABC中，BC＝4sin10°，AC＝2sin50°，∠C＝70°，则△ABC的面积为________．解析：S＝absinC＝×4sin10°×2sin50°×sin70°＝4sin10°sin50°sin70°＝4cos20°cos40°cos80°＝＝＝＝＝.答案：三、解答题8．(·辽宁营口检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinA－cosA＝0，cosB＝，b＝2.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)由sinA－cosA＝0可得sinA＝cosA，得tanA＝，故A＝.因为A，B，C为△ABC的内角，且A＝，cosB＝，所以C＝－B，sinB＝，所以sinC＝sin＝cosB＋sinB＝×＋×＝.(2)由(1)知sinA＝，sinC＝，sinB＝，又因为b＝2，所以在△ABC中，由正弦定理，得a＝＝.所以△ABC的面积S＝absinC＝××2×＝.9．(·全国Ⅱ卷)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝，b2＝ac，求B.解：由cos(A－C)＋cosB＝及B＝π－(A＋C)得cos(A－C)－cos(A＋C)＝，即cosAcosC＋sinAsinC－(cosAcosC－sinAsinC)＝，所以sinAsinC＝.又由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，故sin2B＝，sinB＝或sinB＝－(舍去)，于是B＝或B＝.又由b2＝ac知b≤a或b≤c，所以B＝.10．(·福建厦门调研)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC△中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD=10t，BD=10t.在△ABC中， AB=-1，AC=2，∠BAC=120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos120°＝6，∴BC=， ∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船．1．(·创新题)有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝，B＝，________，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝.试在横线上将条件补充完整．解析：(1)若破损处的条件为b边的长度，则由＝得b＝＝＝；(2)若破损处的条件为c边的长度，由A＋B＋C＝π，知...
