平面向量的基本定理与坐标表示★知识梳理★1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的____向量，_一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2特别提醒：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个__单位向量_、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………，我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，，，特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算（1）若，，则=，=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差1BCAOMD（2）若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）若和实数，则实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标4．向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1,y1)，=(x2,y2)其中∥()的充要条件是★重难点突破★1.重点：（1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解；（2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；2.难点：用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.3.重难点：（1）平行的情况有方向相同和方向相反两种问题1：和a=(3,－4)平行的单位向量是_________；错解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量就是a，即(，－)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量是a，即(，－)或(－，)★热点考点题型探析★考点一：平面向量基本定理题型1.利用一组基底表示平面内的任一向量在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.：若是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用线性表示.本例中向量,可作基底,故可设2ABCQRP=m+n,为求实数m,n,需利用向量与共线,向量与共线,建立关于m,n的两个方程.解析：设=m+n，则, 点A、M、D共线，∴与共线，∴，∴m+2n=1.①而， C、M、B共线，∴与共线，∴，∴4m+n=1.②联立①②解得:m=，n=，∴例题2.平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求解：（1）由题意得所以，得（2）（3）3由题意得得或已知是所在平面内一点,的中点为,的中点为,的中点为.证明:只有唯一的一点使得与重合.：要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量可用一组基底唯一表示.解析：设，则,由题设知:由于,是确定的向量，所以是唯一的一个向量，即所在平面内只有唯一的一点使得与重合.例4、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足，其中且，则点C的轨迹方程为（）解一、设，则由得于是先消去，由得再消去得。所以选取D【名师指引】解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。4BACPNM【新题导练】1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()A．与—B．3与2C．＋与—D．与2答案：D2．在△ABC中,已知AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4，BN与CM交于点P,且,试用表示.解： AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4,，∴，， M、P、C三点共线，故可设，t∈R,于是，……①同理可设设，s∈R,．…②由①②得，由此解得，∴．考点二:平面向量的坐标表示与运算题型1:向量加、减、数乘的坐标运算已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且,,求点M、N的坐标及向量的坐标.：利用平面向...
