lPAn(1)向量法求空间距离广州市第78中学数学科黄涛教学重点难点重点：掌握由向量数量积推导距离公式难点：空间向量的投影的理解，灵活运用数形结合的思想，空间直角坐标系的建立，求法向量，向量的选取。教学方法、教学手段采用启发诱导式教学，并结合实践探索，互动教学。因为要充分体现数形结合思想，有大量的图形对比引导，以多媒体展示作为黑板板书补充。教学目标：(1)知识目标：理解向量数量积与射影的关系，基本掌握用数量积公式的变形求空间距离的方法和步骤(2)能力训练目标：培养动手能力，计算表达能力，空间想象能力(3)创新素质目标：通过立体几何向量方法解题体会知识之间的内在联系，事物内在的本质联系，懂得通过思维的拓展从事物的广泛联系中寻找解决问题的方法(4)情感目标：化繁为简，化难为易，在师生共同探索中建立学生学习数学的信心和热情教学过程：一．复习引入1．如右图中正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则点D1到平面BB1C1C的距离是_______,直线B1C1与B1C的距离是_________.2.点C1到平面AB1C的距离又是______,体对角线BD1与面对角线B1C的距离是__________.分析：以第一题找具体线段方法求距离很困难，提出能否避开“作图”这一难点，不通过找具体的线段求解，而用“数”来求解？3.我们已经学习了向量的数量积为0可证垂直，可求夹角，可以求两点间的距离，射影公式能起什么作用？二．新课讲解：1．实践探索题目一：图1①作在直线的法向量上的射影，②点P到直线的距离=___________。题目二：图2①作出在平面的法向量上的射影，②点P到平面的距离=___________。用心爱心专心ABCDA1B1C1D1ACD（3）nB1l2lEPnHABC(2)题目三：图3①作出在异面直线的公共法向量上的射影，②这两条异面直线间的距离=_____________。2.数形结合，数量积与射影题目一在直线的法向量上的射影_____=___________(用数量积写出);题目二在平面的法向量上的射影_____=__________在平面的法向量上的射影_____=__________在平面的法向量上的射影_____=__________;题目三在异面直线的公共法向量上的射影_____=__________；在异面直线的公共法向量上的射影_____=__________并思考判断：①以上三图所作的射影与所求的点到线，点到面，异面直线间距离有什么关系？②.图2中的有有相同的______,不同的_____,它们在上的射影相同.③.图3中的在上的射影相同.3.公式推导、形成思路（1）公式推导由以上作图，可以观察出：“距离等于射影长度”，即当为单位向量时其中，若求“点”面距离，的一个端点为“点”，另一端点为面内的任意一点，为面的法向量；若求线线距离，为联结异面直线上任意两点的向量，即只需要这个向量的两个端点分别在这两条异面直线上，为异面直线的公共法向量。（2）思路形成观察公式，怎么用？必须什么条件？答：必须能计算数量积和求模，也就是用坐标求解,则必须建立坐标系，形成如右图的思路。4.运用，例题讲解例：已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，求:(1)点D1到平面AB1C的距离；(2)体对角线BD1与面对角线B1C的距离。解：（2）以D点为空间坐标系坐标原点如图建立坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),用心爱心专心建系求坐标求数量积，法向量的模求解∴，＝（－１，０，０）设(为异面直线的公共法向量)即，∴点评：①求法向量（或公共法向量）先设后求；②利用垂直向量数量积为零一般可以建立两个方程，不能求解法向量三个未知坐标，而令其中一个坐标为常数不影响其公垂性，所以可设其中一座标为1，求解另两个坐标即可；③利用坐标可简化计算，但必须在建立了一个容易找坐标的空间坐标系的前提下，用这种方法才能体现其优势5.概括解题步骤（1）步骤：建系—求点及向量坐标—（设并）求法向量—求数量积和法向量的模—代公式求解（2）分析强调a.建系方法b.斜线段向量的任意性c.法向量求法三.巩固练习1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=a,BC=b,CC1=c,(a≠b),求:AC与BD1的距离。2.如图：⊿ABC是中∠B为直角，SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点，求:A到平面SND的距离。四.小结作业1.小结1.距离等于射影长度2.公...
