1/24圆一、基础知识（一）基本概念1.平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹(集合)叫做圆,定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.2.曲线C上任意一点P的坐标(,)xy都是某个变量t的函数,即(),()xftygt,且对于t的每一个允许值,由方程组(),()xftygt所确定的点(,)Pxy都在曲线C上曲线C的参数方程是(),()xftygt,或参数方程(),()xftygt的曲线是C.记作曲线(),:()()xftCtygt为参数.（二）圆的方程1．标准方程圆心为1(,)Oab,半径为r的圆方程为222()()xaybr.2．一般方程(1)令2Da,2Eb,222Fabr,则222()()xaybr可化为2/24220xyDxEyF.①当2240DEF时,方程220xyDxEyF不表示任何曲线.②当2240DEF时,方程220xyDxEyF的曲线是一个点1(,)22DEO.③当2240DEF时,方程220xyDxEyF表示以1(,)22DEO为圆心,2242DEF为半径的圆.此时,方程220xyDxEyF叫做圆的一般方程.(2)关于,xy的二元二次方程220AxBxyCyDxEyF的曲线是圆220,0,40.ACBDEAF3．参数方程(1)令cosxar,由222()()xaybr,可得sinybr,于是cos()sinxarybr，为参数.3/24(2)以1(,)Oab为圆心,r为半径的圆的参数方程是cos,()sinxarybr为参数.（三）根据圆的方程研究圆的性质1．单个圆自身的性质(1)范围:由222()()xaybr,得||xar,||ybr.(2)对称性①圆心1O是圆1:O222()()xaybr的中心.②过圆心1O的任意直线都是圆1:O222()()xaybr的对称轴.2．点与圆的位置关系(1)判定①点00(,)Pxy在圆1:O220xyDxEyF上2200000xyDxEyF.②点00(,)Pxy在圆1:O220xyDxEyF内2200000xyDxEyF.③点00(,)Pxy在圆1:O220xyDxEyF外2200000xyDxEyF.(2)性质4/24①若点00(,)Pxy在圆1:O220xyDxEyF上,则过点P与圆1O相切的直线方程是0000022xxyyxxyyDEF.②若点00(,)Pxy在圆1:O222()()xaybr上,则过点P与圆1O相切的直线方程是200()()()()xaxaybybr.③若点00(,)Pxy在圆1:O220xyDxEyF内,则(a)过P和1O的弦最长;(b)垂直1PO的弦最短.④若点00(,)Pxy在圆1:O220xyDxEyF外,过P作直线1l交圆1O于AB、两点,作直线2l与3l分别与圆1O相切于点T和Q,则(a)220000||||PTPQxyDxEyF;(b)2||||||PAPBPT;(c)直线TQ的方程为200()()()()xaxaybybr.3．直线与圆的位置关系(1)判定5/24①直线:0lAxByC与圆1:O222()()xaybr相离22||AaBbCdrAB.②直线:0lAxByC与圆1:O222()()xaybr相切22||AaBbCdrAB.③直线:0lAxByC与圆1:O222()()xaybr相交22||AaBbCdrAB.(2)性质①若直线:0lAxByC与圆1:O222()()xaybr相离,P是l上的点,Q是圆1O上的点,则min||PQ22||AaBbCrAB.②若直线:0lAxByC与圆1:O222()()xaybr相交于P、Q两点,M是PQ的中点,则(a)1OMPQ;(b)1||OM22||AaBbCAB;(c)6/24221||2||PQrOM.4．圆与圆的位置关系(1)判定①圆1:O222111()()xaybr与圆2:O222222()()xaybr相外离1212||OOrr.②圆1:O222111()()xaybr与圆2:O222222()()xaybr相外切1212||OOrr.③圆1:O222111()()xaybr与圆2:O222222()()xaybr相交121212||||rrOOrr.④圆1:O222111()()xaybr与圆2:O222222()()xaybr内切1212||||rrOO.⑤圆1:O222111()()xaybr与圆2:O222222()()xaybr内含1212||||rrOO.(2)性质7/24若圆1:O221110xyDxEyF与圆2:O222220xyDxEyF相交于P、Q两点,则①12PQOO;②直线PQ的方程为121212()()()0DDxEEyFF;③经过P、Q两点的任意圆'O(除圆2O)的方2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF程都可表示为.[共弦圆系]（四）基本方法(1)将参数方程化为普通方程①求函数()xft值域1R和函数()ygt的值域2R;②从()()xftygt中消去参数t得普通方程12(,)0(,)FxyxRyR.(2)求圆的方程①待定系数法②定义法(3)直线与圆相交①先设出交点的坐标11(,)Pxy、22(,)Qxy和PQ的中点00(,)Mxy,②用点到直线的距离公式求出圆心(,)Cab到直线的8/24距离d,③用垂径定理(CMPQ)来解决有关的问题.特别地有弦长公式22||2||2||2PQPMQMrd.二、基本例题例1(1)圆22:(2)(3)4Cxy的圆心为(_____,______)C,半径r.(2)圆22:2410Cxyxy的圆心为(_____,______)C,半径r.(3)圆2cos1:()2sin1xCy为参数的圆心为(_____,______)C,半径r.(4)曲线cos:()sinxarCrybr为参数的普通方程为.(5)曲线cos:()sinxarCybr为参数的普通方程为.(6)曲线cos:(,0)2sinxarCybr9/24的普通方程为.(7)曲线cos:(,0)sinxarCybr的普通方程为.(8)曲线22cos:(,0)sinxarCybr的普通方程为.(9)曲线cos:(...
