第2讲空间几何体的表面积和体积一、选择题1.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π,则该圆锥的体积为()A.πB.πC.πD.π解析:设圆锥的底面半径为r,则=π,∴r=,∴圆锥的高h==.∴圆锥的体积V=πr2h=π.答案:C2.(·福建)如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是()解析: 体积为,而高为1,所以底面为一个直角三角形.答案:C3.(·山东青岛调研)已知一个四棱锥的正视图(主视图)和侧视图(左视图)为两个完全相同的等腰直角三角形(如图所示),腰长为1,则该四棱锥的体积为()A.B.C.D.解析:由于正视图(主视图)和侧视图(左视图)为两个全等的等腰直角三角形,则可知四棱锥底面为正方形,四个侧面为正三角形,底面两条对角线所在方向分别与观测者正视图和侧视图光线平行;其中底面正方形的边长为1,四棱锥的高为,所以该四棱锥的体积为.答案:C4.(·广东中山调研)已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该空间几何体的体积是()A.B.C.14D.7解析:这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台,这个四棱台的高是2,上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形,故其体积V=×(12++22)×2=.答案:A二、填空题5.(·天津)如右图是一个几何体的三视图.若它的体积是3,则a=________.解析:由三视图可知几何体为一个直三棱柱,底面三角形中边长为2的边上的高为a,∴V=3×=3⇒a=.答案:6.若某几何体的三视图(单位:cm)如右图所示,则此几何体的体积是________cm3.解析:根据几何体的三视图,可知该几何体是由两个相同的长方体(3×3×1)组合而成的几何体,故其体积为18.答案:187.(·江苏南京调研)如图是一个几何体的三视图(单位:m),则几何体的体积为________.解析:如图所示,此几何体是一个以AA1,A1D1,A1B1为棱的长方体被平面BB1C1C截去后得到的,易得其体积为长方体的体积的,因为长方体的体积为2×4×2=16(m3),故所求的体积为12m3.答案:12m3三、解答题8.如图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和三视图.(1)求该多面体的体积;(2)在所给直观图中连结BC′,证明:BC′∥面EFG.解:(1)所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-××2=(cm3).(2)证明:在长方体ABCD—A′B′C′D′中,连结AD′,则AD′∥BC′.因为E,G分别为AA′,A′D′中点,所以AD′∥EG,从而EG∥BC′.又BC′⊄平面EFG,所以BC′∥面EFG.9.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解:由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形,如右图所示.(1)几何体的体积为:V=·S矩形·h=×6×8×4=64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为:h1==5.左、右侧面的底边上的高为:h2=故几何体的侧面面积为:10.(·福建)如右图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证:AB⊥DE;(2)求三棱锥E—ABD的侧面积.证明:(1)在△ABD中, AB=2,AD=4,∠DAB=60°,∴BD=∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD.又 平面EBD⊥平面ABD平面EBD∩平面ABD=BD,AB⊂平面ABD,∴AB⊥平面EBD.又 DE⊂平面EBD,∴AB⊥DE.(2)解:由(1)知AB⊥BD, CD∥AB,∴CD⊥BD,从而DE⊥BD,在Rt△DBE中, DB=2,DE=DC=AB=2,∴S△BDE=DB·DE=2.又 AB⊥平面EBD,BE⊂平面EBD,∴AB⊥BE. BE=BC=AD=4,∴S△ABE=AB·BE=4, DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,∴ED⊥平面ABD,而AD⊂平面ABD,∴ED⊥AD,∴S△ADE=AD·DE=4综上,三棱锥E—ABD的侧面积S=8+2.1.(·创新题)一个空间几何体的三视图及其相关数据如右图所示,则这个空间几何体的表面积是()A.B.+6C.11πD.+3解析:这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1,下底面半径...