第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．(·模拟精选)若异面直线a，b分别在平面α、β内，且α∩β＝l，则直线l()A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行解析：若l与a，b都不相交， l与a都在α内，∴a∥l，l与b都在β内，∴b∥l，∴a∥b，与条件矛盾．答案：B2．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD，其中正确的是()A．①③B．②③C．③D．①②解析：如右图所示，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①②正确．答案：D3．(·天津模拟)已知异面直线a，b互相垂直，定点P不在直线a，b上，若过P点的直线l与a成25°角，则l与b所成角θ的取值范围为()A．[0°，45°)B．[65°，90°]C．[45°，90°)D．(0°，25°]解析：将异面直线a、b平移至相交于P点：当平移后的直线a，b与l这三条直线在同一平面内时，θ取得最小值65°，当b垂直a，l所在的平面时，θ取得最大值90°.答案：B4.如右图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：连结D1C，AC，易证A1B∥D1C，∴∠AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角．设AB=1，则AA1=2，AD1=D1C=，AC=，答案：D二、填空题5．(·辽宁大连调研)如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有____对．解析：原来的正方体应为右图．其中AB与CD、AB与GH、EF和GH三对异面直线．答案：36．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________个．解析： a⊥b，b⊥c，∴a与c可以相交、平行、异面，故①错． a、b异面，b、c异面，则a、c可能异面、相交、平行，故②错．由a、b相交，b、c相交，则a、c可以异面，故③错．同理④错，故真命题个数为0个．答案：07．(·广东中山调研)如图所示，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．解析：取CB中点G，连接EG、FG，∴EG∥AB，FG∥CD.∴EF与CD所成的角为∠EFG.又 EF⊥AB，∴EF⊥EG.在Rt△EFG中，EG=AB=1，FG=CD=2，∴sin∠EFG=，∴∠EFG=30°.∴EF与CD所成的角为30°.答案：30°三、解答题8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B， E、F分别是AB和AA1的中点，∴EF∥A1B且EF=A1B，又 A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF与CD1确定一个平面α，∴E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．9.如右图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？证明：(1)由题设知，FG=GA，FH=HD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)解：C、D、F、E四点共面．理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面，又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．10．如图所示，设A是BCD所在平面外一点，AD＝BC＝2cm，E、F分别是AB、CD的中点．(1)若EF＝cm，求异面直线AD和BC所成的角；(2)若EF＝cm，求异面直线AD和BC所成的角．解：如图所示，取AC的中点G，连结EG、FG. E，F分别是AB，CD的中点，∴EG∥BC且EG=BC=1cm，FG∥AD且FG＝AD＝1cm，∴∠EGF即为所求异面直线所成的角或其补角．(1)当EF＝cm时，由EF2＝EG2＋FG2，得∠EGF＝90°.∴...
