第6讲空间直角坐标系一、选择题1．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为()A．(0，，0)B．(0，，)C．(1,0，)D．(1，，0)解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标，z坐标分别相等，∴Q(0，，)．答案：B2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为()A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线C．垂直于y轴的一个平面D．平行于y轴的一个平面解析：y变化时，点P的x坐标为1，z坐标为2保持不变，点P在xOz平面上射影为P′(1,0,2)，∴P点的集合为直线PP′，它垂直于xOz平面．答案：A3．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则()A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形解析：∵|AB|＝，|AC|＝2，|BC|＝，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴A、B、C三点共线，构不成三角形．答案：D4.（·山东济南模拟）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1C1上，则()A．x＝1，y＝，z＝B．x＝，y＝1，z＝C．x＝1，y＝，z＝D．x＝1，y＝，z＝解析:＝AB＋AD，所以A1E＝A1C1＝AB＋AD，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋AB＋AD，所以x＝1，y＝，z＝.答案：D二、填空题5．点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|＝________.解析：∵P1(－1,2，－3)，P2(1，－2,3)．∴|P1P2|＝＝2.答案：26．(·广东汕头调研)在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点为A(3，－1,2)，其中心为M(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：∵A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)，∴C1＝(－3,3,2)．∴AC1＝2，∴棱长a＝＝.答案：7．(·安徽)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．解析：设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)三、解答题8.如右图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连结AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．解：易求出B点坐标为(1,1,0)．∵A、C、D与B点分别关于xOz平面、yOz平面、坐标原点对称，∴A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．又∵E、F分别为PA、PB的中点，且P(0,0,2)，∴E，F.9．设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0,1，－1)距离的两倍，求点P的坐标．解：设P(x,0,0)，则|P1P|＝＝，|P2P|＝＝，∴＝2.解得x＝±1.∴P(1,0,0)或P(－1,0,0)．10．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，O是面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，求|OP|的最小值．解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则O(1,1,0)．设P(x,2,2)(0≤x≤2)，则|OP|＝＝，∴当x＝1，即P为C1D1中点时，|OP|取最小值.1．(·改编题)在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有()A．1个B．2个C．不存在D．无数个解析：在坐标平面xOy内，设点P(x，y,0)，依题意得＝，整理得y＝－，x∈R，所以符合条件的点有无数个．答案：D2．(·创新题)若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围为________．解析：|AB|＝，即|AB|＝＝.又∵α、θ均为实数，－1≤cos(α－θ)≤1，－12≤12cos(α－θ)≤12，∴1≤|AB|≤5.答案：[1,5]
