第4讲函数的奇偶性一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A．y＝－log2x(x>0)B．y＝x＋x3(x∈R)C．y＝3x(x∈R)D．y＝(x∈R，x≠0)解析：选项A，定义域不关于原点对称；选项C不是奇函数；选项D在(∞－，0)和(0∞，＋)上是减函数．答案：B2．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图象()A．关于点(1,0)对称B．关于点(0,1)对称C．关于点(－1,0)对称D．关于点(0，－1)对称解析：令g(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，则g(x)为奇函数，所以g(x)的图象关于原点(0,0)对称，当x＝0时，有f(x)－1＝0，此时f(x)＝1，所以对称点为(0,1)．答案：B3．(·模拟精选)函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A．3B．0C．－1D．－2解析：f(a)＝a3＋sina＋1＝2，f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－a3－sina＋1＝－(a3＋sina＋1)＋2＝－2＋2＝0.答案：B4．(·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)0，∴f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)<0.又x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)>0，且f(x)为减函数．同理f(x)在[4,6]为减函数且f(x)<0.如图所示． f(-25)=f(-1)<0，f(11)=f(3)>0，f(80)=f(0)=0，∴f(-25)0，f(－x)＝log2(1－x)， f(x)为奇函数，故有f(x)＝－log2(1－x)，f(m)<－2，即log2(1－m)>2,1－m>4，故m<－3.答案：(∞－，－3)三、解答题8．已知f(x)＝x(＋)(x≠0)．判断f(x)的奇偶性；解：f(x)的定义域是(∞－，0)∪(0∞，＋) f(x)＝x(＋)＝·.∴f(－x)＝·＝·＝f(x)．故f(x)是偶函数．9．(·山东淄博模拟)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)|m|，且|1－m|≤2.解得：－1≤m<.∴m的取值范围是.10．(·模拟精选)设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c都是整数)，且f(1)＝2，f(2)<3，f(x)在(1∞，＋)上单调递增．(1)求a，b，c的值；(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论．解：(1)由f(1)＝2得＝2，由f(2)<3得<3. 函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠－}，则－＝0，∴c＝0，于是得f(x)＝＋，且＝2，<3，∴<3，即00，∴函数f(x)在[－1,0)上为减函数．综上所述，函数f(x)在(∞－，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数．1．(★★★★)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则()A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数解析：由已知条件对x∈R都有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)因此f(－x＋3)＝f[－(x－2)＋1]＝－f[(x－2)＋1]＝－f(x－1)＝f(－x－1)＝f(－x－2＋1)＝－f(x＋3)因此函数f(x＋3)是奇函数．答案：D2...
