专题复习(十一)几何探究题类型1与全等三角形有关的几何探究题1．(2016·丹东模拟)已知，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE.(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CE，②CE＝BC－CD；(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE，BC，CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF，CF，其他条件不变，请判断△ACF的形状，并说明理由．解：(1)证明： ∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD＝CE.∴∠ACB＋∠ACE＝90°.∴∠ECB＝90°.∴BD⊥CE，CE＝BC－CD.(2)CE＝BC＋CD.(3)△ACF是等腰三角形．理由： ∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠ABD＝∠ACE. ∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ABD＝135°.∴∠DCE＝90°.又 点F是DE中点，∴AF＝CF＝12DE.∴△ACF是等腰三角形．2．(2016·贵阳)(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是2
EF；(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以点C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．解：(2)证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM.由(1)得△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM＝CF. DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF.在△BME中，由三角形的三边关系得：BE＋BM>EM，∴BE＋CF>EF.(3)BE＋DF＝EF，理由：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN. ∠ABC＋∠D＝180°，∠NBC＋∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D.在△NBC和△FDC中，BN＝DF，∠NBC＝∠D，BC＝DC，∴△NBC≌FDC(SAS)．∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD. ∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE＋∠FCD＝70°.∴∠ECN＝70°＝∠ECF.在△NCE和△FCE中，CN＝CF，∠ECN＝∠ECF，CE＝CE，∴△NCE≌△FCE(SAS)．∴EN＝EF. BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF.3．(2016·安徽中考信息交流卷二)如图，正方形ABCD，点O为两条对角线的交点．(1)如图1，点M，N分别在AD，CD边上，∠MON＝90°，求证：OM＝ON；(2)如图2，若AE交CD于点E，DF⊥AE于点F，在AE上截取AG＝DF，连接OF，OG，则△OFG是哪种特殊三角形，证明你的结论；(3)如图3，若AE交BC于点E，DF⊥AE于点F，连接OF，求∠DFO的度数．解：(1)证明：连接OA，OD，则OA＝OD. 四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∠OAM＝∠ODN＝45°. ∠MON＝90°，∴∠AOD－∠MOD＝∠MON－∠MOD.∴∠AOM＝∠DON.∴△AOM≌△DON(ASA)．∴OM＝ON.(2)△OFG为等腰直角三角形．证明：连接OA，OD，则OA＝OD. 四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∠OAD＝∠ODC＝45°. DF⊥AE，∴∠DAE＋∠ADF＝∠ADF＋FDE＝90°.∴∠DAE＝∠FDE.∴∠OAG＝∠ODF.又 AG＝DF，∴△OAG≌△ODF(SAS)．∴OG＝OF，∠AOG＝∠DOF.∴∠GOF＝∠GOD＋∠DOF＝∠GOD＋∠AOG＝90°.故△OFG为等腰直角三角形．(3)在AE上截取AG＝DF，连接OA，OD，OG，其中OA与DF交于点H，则AO＝DO. ∠AFD＝∠AOD＝90°，∠AHF＝∠DHO，∴∠GAO＝∠FDO.∴△OAG≌△ODF(SAS)．∴OG＝OF，∠AOG＝∠DOF.∴∠GOF＝∠GOA－∠FOA＝∠DOF－∠FOA＝90°.∴∠GFO＝45°. DF⊥AE.∴∠DFO＝45°.4．(2015·蚌埠六校联考)正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上(不含点B)，∠BPE＝12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G.(1)当点P与点C重合时(如图1)．求证：△BOG≌△POE；(2)通过观察、测量、猜想：BFPE＝12，并结合图2证明你的猜想；(3)把正方...
