第二知识块函数的概念与基本初等函数I、导数及其应用第1课时函数的概念和图象、函数的表示方法、映射的概念一、填空题1．(·湖北武汉二中高三期中)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是________．解析：要使函数有意义，必须且只须解得－a，则实数a的取值范围是________．解析：易知f(a)>a⇔或解之即得不等式的解集为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)4．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一))某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设乘客每次乘坐需付费用为f(x)元，由题意可得：令f(x)＝22.6，解得x＝9.,答案：95.函数f：x{1,2,3}→{1,2,3}满足f[f(x)]＝f(x)，则这样的函数共有________个．解析：从{1,2,3}到{1,2,3}的所有函数中，所有“三对一”的共3个，满足f[f(x)]＝f(x)；,“二对一，一对一”满足条件f[f(x)]＝f(x)的共有＝6(个)；“一对一”满足条件f[f(x)]＝f(x)的只有一个．由分类计数原理知，满足f[f(x)]＝f(x)的函数共10个．答案：106.(·连云港模拟)对于函数f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f(x)的“下确界”，则函数f(x)＝的下确界为________．答案：7．(·甘肃会宁四中高三期中)定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)的解析式为________．解析：∵对任意的x∈(－1,1)有－x∈(－1,1)，由2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)①得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)②①×2＋②消去f(－x)，得3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x＋1)∴f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)(－1＜x＜1)．答案：f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)(－1＜x＜1)二、解答题8．(经典题)求下列函数的定义域．(1)y＝ln(＋)；(2)y＝＋lgcosx.解：依据真数大于零，分母非零，偶次被开方因式非负进行求解．(1)∴函数定义域为[－4,0)∪(0,1)．(2)由得.借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为∪∪.9．若函数f(x)的值域为，求函数F(x)＝f(x)＋的值域．解：令f(x)＝t，t∈，问题转化为求函数y＝t＋在的值域．又y′＝1－＝，当t∈，y′≤0，y＝t＋为减函数，当t∈[1,3]，y′≥0，y＝t＋在[1,3]上为增函数，故t＝1时ymin＝2，t＝3时y＝为最大．∴y＝t＋，t∈的值域为.10．(·山东青岛质检题)已知函数f(x)的定义域为x∈，求g(x)＝f(ax)＋f(a＞0)的定义域．解：设u1＝ax，u2＝，则g(x)＝f(u1)＋f(u2)，且u1、u2∈.∴，⇒(1)当a≥1时，不等式组的解为－≤x≤；(2)当0＜a＜1时，不等式组的解为－≤x≤.∴当a≥1时，g(x)的定义域为；当0＜a＜1时，g(x)的定义域为.1．求下列函数的值域．(1)y＝；(2)y＝＋.解：(1)观察函数式，可用判别式法将已知的函数式变形为yx2＋2yx＋3y＝2x2＋4x－7，(y－2)x2＋2(y－2)x＋3y＋7＝0.显然y≠2(用判别式之前，首先必须讨论x2的系数)．将上式视作关于x的一元二次方程．∵x∈R，即上述关于x的一元二次方程有实根，∴[2(y－2)]2－4(y－2)(3y＋7)≥0.解这个不等式得－≤y≤2.又y≠2，∴函数的值域为.(2)∵y2＝2＋2，∴2≤y2≤2＋1＋x＋1－x＝4，故≤y≤2.即函数的值域为[，2]．2．函数f(x)＝.(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为[－2，－1]，求实数a的取值范围．解：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1，(ⅰ)当a＝1时，f(x)＝，定义域为R，符合；(ⅱ)当a＝－1时，f(x)＝，定义域不为R，不合题意．②若1－a2≠0，g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6为二次函数，∵f(x)的定义域为R，∴g(x)≥0对x∈R恒成立，∴⇒⇒－≤a＜1，综合①②得a的取值范围是.(2)命题等价于不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a2≠0，∴1－a2<0且x1＝－2，x2＝1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的两根，∴⇒解得a＝2.
