第3课时函数的奇偶性与周期性一、填空题1．已知函数f(x)＝1＋是奇函数，则m的值为________．解析： f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，∴1＋＋1＋＝0，∴2－＋＝0，∴2＋(1－ex)＝0，∴2－m＝0，∴m＝2.答案：22．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.解析：设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝2－x－3＝－f(x)，故f(x)＝3－2－x，所以f(－2)＝3－22＝－1.答案：－13．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.解析：解法一： f(x)为奇函数，定义域为R，∴f(0)＝0⇔a－＝0⇔a＝.经检验，当a＝时，f(x)为奇函数．解法二： f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－＝－.∴2a＝＋＝1，∴a＝.答案：4．若f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＝________，b＝________.解析：由a－1＝－2a及f(－x)＝f(x)，可得a＝，b＝0.答案：05．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________．解析：由奇函数的定义画出函数y=f(x)，x[-5,5]∈的图象．由图象可知f(x)＜0的解集为：{x|-2＜x＜0或2＜x＜5}．答案：{x|-2＜x＜0或2＜x＜5}6．(·全国大联考三江苏卷)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，它在[0,2]上的图象是一条如图所示的线段，则不等式f(x)＋f(－x)>x的解集为________．解析：f(x)＋f(－x)>x即f(x)>，如图，由数形结合法可知不等式的解集为[－2,1)．答案：[-2,1)二、解答题7．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．解：设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.由f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴－x3－x＋1＝－f(x)，即f(x)＝x3＋x－1.∴x＜0时，f(x)＝x3＋x－1，又f(x)是奇函数．∴f(0)＝0，∴f(x)＝.8．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，求f()的值．解： x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1.∴x∈(－1,0)时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1， 4＜6＜8，∴－3＜＜－2.又f(x＋2)＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数． －1＜＋2＜0，∴f()＝f(＋2)＝＋1＝－＋1＝－.9．(南京市高三调研测试)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)的最小值为3，且当x≥0时，f(x)＝3ex＋a(a为常数)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最大的整数m(m＞1)，使得存在实数t，对任意的x∈[1，m]，都有f(x＋t)≤3ex.解：(1)函数y＝ex是增函数，所以当x≥0时，f(x)也是增函数．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)min＝f(0)＝3＋a.又f(x)的最小值是3，故3＋a＝3，a＝0.当x＜0时，因为－x＞0，所以f(x)＝f(－x)＝3e－x.综上可知，f(x)＝.(2)解法一：因为x∈[1，m]时，有f(x＋t)≤3ex，故f(1＋t)≤3e.当1＋t≥0时，3e1＋t≤3e，e1＋t≤e,1＋t≤1，－1≤t≤0；当1＋t<0时，同理可得，－2≤t＜－1；从而必有－2≤t≤0.同样地，由f(m＋t)≤3em及m≥2，得et≤.由t的存在性知，上述关于t的不等式在区间[－2,0]上必有解．因为et在区间[－2,0]上的最小值是e－2，所以e－2≤，即em－e3m≤0，①令g(x)＝ex－e3x，x∈[2，＋∞)，则g′(x)＝ex－e3.由g′(x)＝0，得x＝3.当2≤x＜3时，g′(x)＜0，g(x)是减函数；当x＞3时，g′(x)＞0，g(x)是增函数．故g(x)的最小值是g(3)＝－2e3＜0，又g(2)＝e2(1－2e)＜0，g(4)＝e3(e－4)＜0，而g(5)＝e3(e2－5)＞0.由此可见，方程g(x)＝0在区间[2，＋∞)上有唯一解m0∈(4,5)，且当2≤x≤m0时，g(x)≤0；当x＞m0时，g(x)＞0.即在x∈[2，＋∞)时满足不等式①的最大实数解是m0，而当t＝－2，x∈[1，m0]时，f(x－2)－3ex＝3e×(e|x－2|－1－x)，在x∈[1,2]时，因为e|x－2|－1＝e1－x≤1，所以f(x－2)－3ex≤0；在x∈(2，m0]时，f(x－2)－3ex＝3e×(ex－3－x)＝×(ex－e3x)＝×g(x)≤0.综上所述，m的最大整数是4.解法二：满足条件的最大整数m为4.先证m＝4符合题意：取t＝－2，当x∈[1,2]时，因为f(x＋t)＝3×e|x－2|＝3×e2－x≤3e,3ex≥3e，所以f(x－2)≥3ex；当x∈(2,4]时，f(x＋t)－3ex＝f(x－2)－3ex＝3e×(ex－3－x)＝×(ex－e3x)，令g(x)＝ex－e3x，则g′(x)＝ex－e3.由g′(x)＝0，得x＝3.当2≤x＜3时，g′(x)＜0...
