第7课时正弦定理、余弦定理一、填空题1．(南京调研)在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则∠B的大小是________．解析：∵＝＝，∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝5∶7∶8.令a＝5，b＝7，c＝8，则cosB＝＝＝.∴∠B＝.答案：2．△ABC中，(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于________．解析：设b＋c＝4k，a＋c＝5k，a＋b＝6k(k>0)，三式联立可求得a＝k，b＝k，c＝k，∴a∶b∶c＝7∶5∶3，即sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3.答案：7∶5∶33．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于________．解析：由比例的合比性质知＝，由题意，已知A，a可得＝＝.答案：4．(江苏省高考命题研究专家原创卷)在△ABC中，已知sinAsinBcosC＝sinAsinCcosB＋sinBsinC·cosA，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则的最大值为________．解析：因为sinAsinBcosC＝sinAsinCcosB＋sinBsinCcosA，所以由正、余弦定理，得ab·＝ac·＋bc·，化简整理得a2＋b2＝3c2.又由基本不等式得3c2＝a2＋b2≥2ab，所以≤.答案：5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________.解析：由正弦定理得：＝，即＝，∴sinA＝.又∵a＝1，c＝，∴a.1．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则＋＝________.解析：因为∠C＝60°，所以a2＋b2＝c2＋ab，所以(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(c＋a)，所以＋＝1，故填1.答案：12．在ABC中，已知AB＝，cosB＝，AC边上的中线BD＝，求sinA的值．解：取AB中点E，连结DE，在BDE中，，又cosDEB=-cosB=∠－.设DE=x，根据余弦定理得，BD2=BE2+DE2-2DE·BEcosDEB∠，即整理得：3x2+4x-7=0，即(3x+7)(x-1)=0，解得x=1或x=-(舍去)．在DEA中，cosDEA=∠，DE=1，DA∴2=DE2+EA2-2DE·EAcosDEA=1+∠.又sinDEA=∠，根据正弦定理得.
