第6课时空间向量及其运算一、填空题1．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E是底面A′B′C′D′的中心，xa＋yb＋zc，则x＝________，y＝________，z＝________.解析：∵＝2a＋b＋c，∴x＝2，y＝1，z＝.答案：212．已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.答案：－23．已知向量a、b、c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于________．解析：(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝1＋1＋4－2cos60°＝5.答案：4.已知在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′等于________．解析：＝50＋2(10＋7.5)＝85.答案：5．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝且λ>0，则λ＝________.解析：∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29，∴λ＝3或λ＝－2.∵λ>0，∴λ＝3.答案：36．已知空间四边形ABCD，＝________.解析：＝＝＝＝答案：07．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．解析：|a|＝＝3，|b|＝＝3，a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝，S平行四边形＝|a||b|sin〈a，b〉＝.答案：二、解答题8．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长＝34，求B点坐标．解：设B点坐标为(x，y，z)，则AB＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，由＝34，即＝34，得λ＝2，∴x＝18，y＝17，z＝－17.∴B点坐标为(18,17，－17)．9．如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是棱O1B1、AE的中点．求证：PQ∥RS.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．由定比分点公式得，P，Q(0,2,2)，R(3，2,0)，S，于是∵R∉PQ，∴PQ∥RS.10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.(1)写出点E、F的坐标；(2)求证：(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：(1)解：E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明：∵A1(a,0，a)、C1(0，a，a)，∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．∴＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴(3)证明：∵A1、E、F、C1四点共面，∴共面．视为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴解得λ1＝，λ2＝1，于是1．已知向量a＝，b＝(x,1,2)，其中x>0.若a∥b.求x.解：因x＝8,2时都不满足a∥b.而x＝4时，a＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b，∴a∥b.另解：当x>0时，a∥b⇔存在λ>0使a＝λb⇔＝(λx，λ，2λ)⇔2．在如图所示的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，求异面直线DE与AC所成角的余弦值．解：建立空间直角坐标系如图．不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,2)，∴＝(－2,2,0)，＝(0,1,2)．＝＝.所以异面直线DE与AC所成角的余弦值为.
