第5课时空间直角坐标系一、填空题1．在空间直角坐标系中，若点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|的长度为________．解析：依题意得B(0,2,3)，∴|OB|＝＝.答案：2．已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点O，设D(x，y，z)，则＝，4＝，－1＝，∴x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)3．在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：由已知，AM＝＝，则正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线长为AC1＝2AM＝2，设正方体的棱长为a，∴3a2＝AC＝52，∴a＝.答案：4．正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2，3)，则正方体的棱长为________．解析：设棱长为a，则a＝，∴a＝4.答案：45．已知点A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为________．解析：求线段AB在坐标平面yOz上的射影长，可先求A、B两点在yOz上的射影，然后再用两点间距离公式，A(3,5，－7)在yOz上的射影是A′(0,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz上的射影是B′(0,4,3)，故|A′B′|＝＝.答案：6．已知点A(1，a，－5)、B(2a，－7，－2)(a∈R)，则AB的最小值是________．解析：AB＝＝≥3.答案：37．(江苏省高考命题研究专家原创卷)由计算机随机产生一个有序三元实数组(x，y，z)满足|x|≤2，|y|≤1，|z|≤1，记事件“x2＋y2＋z2≤1”为A，则P(A)＝________.解析：建立空间直角坐标系，则满足条件|x|≤2，|y|≤1，|z|≤1的点(x，y，z)构成棱长分别为4、2、2的长方体；满足条件x2＋y2＋z2≤1的点(x，y，z)构成以坐标原点为球心，半径为1的球，且球在长方体内部．长方体的体积为4×2×2＝16，球的体积为，所以P(A)＝＝.答案：二、解答题8．已知空间直角坐标系O—xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，求点P的坐标满足的条件．分析：由OA⊥α知，△OAP是直角三角形，三角形的三边应满足|OP|2＝|OA|2＋|AP|2，故利用两点间的距离公式进行化简求解．解：在Rt△OAP中，|OP|2＝|OA|2＋|AP|2，∴x2＋y2＋z2＝3＋(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，∴x2＋y2＋z2＝x2－2x＋y2－2y＋z2－2z＋6，∴x＋y＋z－3＝0，即x＋y＋z－3＝0为点P的坐标满足的条件．9．点P到三个坐标平面的距离相等，且皆为3，求P到原点的距离．解：由已知，P点的三个坐标的绝对值均为3，(不必写出P点的坐标)，由两点间距离公式，得d＝＝3.10．如上图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．解：如上图，过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BCD中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝，∴DE＝CD·sin30°＝，OE＝OB－BD·cos60°＝1－＝，∴D点坐标为，∴AD＝＝＝.1．已知点A(2,4,6)与点B的中点坐标为M(3,6，m)，且点M到xOy面的距离为8，求M点和B点的坐标．解：设点B的坐标为(x，y，z)，∵点M到xOy平面的距离为8，∴m＝8或m＝－8.当m＝8时，点M的坐标为(3,6,8)，由中点坐标公式，可得即即B点坐标为(4,8,10)；当m＝－8时，点M坐标为(3,6，－8)，由中点坐标公式，可得即即B点坐标为(4,8，－22)．2．已知点A(1,2,4)，B(0,4,1)，则在x轴上是否存在点P，使△PAB构成以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点P坐标；否则，说明理由．解：假设存在这样的点P，∵P在x轴上，∴可设P点的坐标为(x,0,0)，若使△PAB构成以AB为斜边的直角三角形，则有PA2＋PB2＝AB2，根据距离公式，可得AB2＝(1－0)2＋(2－4)2＋(4－1)2＝14，PA2＝(x－1)2＋(0－2)2＋(0－4)2＝(x－1)2＋20，PB2＝(x－0)2＋(0－4)2＋(0－1)2＝x2＋17，则(x－1)2＋20＋x2＋17＝14，方程显然无解，∴这样的点P不存在．
