第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质[做真题]题型一圆锥曲线的定义与方程1.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点,若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1解析:选B.由题意设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=a2,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sinθ=1a.在等腰三角形ABF1中,cos2θ=a23a2=13,所以13=1-21a2,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为x23+y22=1.故选B.2.(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8解析:选D.由题意,知抛物线的焦点坐标为p2,0,椭圆的焦点坐标为(±2p,0),所以p2=2p,解得p=8,故选D.3.(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1解析:选B.法一:由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24-y25=k(k>0),即x24k-y25k=1,因为双曲线与椭圆x212+y23=1有公共焦点,所以4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为x24-y25=1.故选B.法二:因为椭圆x212+y23=1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆x212+y23=1有公共焦点,所以a2+b2=(±3)2=9①,因为双曲线的一条渐近线为y=52x,所以ba=52②,联立①②可解得a2=4,b2=5,所以双曲线C的方程为x24-y25=1.4.(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=____________.解析:法一:依题意,抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)(b>0),所以a=1,b=22,所以N(0,42),|FN|=4+32=6.法二:依题意,抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,则点M的横坐标为1,所以|MF|=1-(-2)=3,|FN|=2|MF|=6.答案:6题型二圆锥曲线的几何性质1.(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14解析:选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图所示,设|F1F2|=2c,因为△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,所以|PF2|=|F1F2|=2c,所以|OF2|=c,所以点P坐标为(c+2ccos60°,2csin60°),即点P(2c,3c).因为点P在过点A,且斜率为36的直线上,所以3c2c+a=36,解得ca=14,所以e=14,故选D.2.(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A→=AB→,F1B→·F2B→=0,则C的离心率为________.解析:通解:因为F1B→·F2B→=0,所以F1B⊥F2B,如图.所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为F1A→=AB→,所以点A为F1B的中点,又点O为F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA,因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BF1O=ab,tan∠BOF2=ba.因为tan∠BOF2=tan(2∠BF1O),所以ba=2×ab1-ab2,所以b2=3a2,所以c2-a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e=ca=2.优解:因为F1B→·F2B→=0,所以F1B⊥F2B,在Rt△F1BF2中,|OB|=|OF2|,所以∠OBF2=∠OF2B,又F1A→=AB→,所以A为F1B的中点,所以OA∥F2B,所以∠F1OA=∠OF2B.又∠F1OA=∠BOF2,所以△OBF2为等边三角形.由F2(c,0)可得Bc2,3c2,因为点B在直线y=bax上,所以32c=ba·c2,所以ba=3,所以e=1+b2a2=2.答案:23.(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点...