共面向量定理VIP专享VIP免费

3．1.2共面向量定理课前自主学案温故夯基1．平面上有____和____的量叫做向量，方向____且模____的向量称为相等向量．2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足____律和____律．大小方向相同相等交换结合1．共面向量已知向量a，作OA→＝a，如果OA→的基线平行于平面α，记作______，通常我们把平行于同一平面的向量，叫做__________．2．共面向量定理共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得__________.a∥α共面向量c＝xa＋yb知新益能推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数组(x，y)，使_________________，或对空间任意一点O，有____________________.MP→＝xMA→＋yMB→OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→空间的两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?提示：不能推出a＝λb，因空间中任意两向量都共面，a，b共面未必有a∥b，则不一定有a＝λb.问题探究课堂互动讲练考点突破证明三个向量共面证明三个向量共面，只需利用共面向量定理即可．设向量AB→、CD→分别在两条异面直线上，M、N分别为线段AC、BD的中点，求证：向量AB→、CD→、MN→共面．例1【思路点拨】证明存在x，y使得MN→＝xAB→＋yCD→.【证明】MN→＝MA→＋AB→＋BN→，MN→＝MC→＋CD→＋DN→，以上两式相加，并注意MA→＋MC→＝0，BN→＋DN→＝0，得2MN→＝AB→＋CD→，即MN→＝12AB→＋12CD→，∴AB→、CD→、MN→共面．【名师点评】如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a、b不共线”的要求．利用共面向量的推论是证明四点共面的依据．证明四点共面已知非零向量e1、e2不共线，如果AB→＝e1＋e2，AC→＝2e1＋8e2，AD→＝3e1－3e2.求证：A、B、C、D共面．例2【思路点拨】要证明AB→、AC→、AD→共面，即只要证明存在三个非零实数λ、μ、v，使λAB→＋μAC→＋vAD→＝0即可．【证明】令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0，则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0. e1、e2不共线，∴λ＋2μ＋3v＝0，λ＋8μ－3v＝0，易知λ＝－5μ＝1，v＝1是其中一组解，则－5AB→＋AC→＋AD→＝0，∴A、B、C、D共面．另证：观察易得AC→＋AD→＝(2e1＋8e2)＋3(e1－3e2)＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5AB→，∴AB→＝15AC→＋15AD→.由共面向量知，AB→、AC→、AD→共面．又它们有公共点A，∴A、B、C、D四点共面．【名师点评】要证四点共面，可先作出从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用．自我挑战1已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面．(1)OB→＋OM→＝3OP→－OA→；(2)OP→＝4OA→－OB→－OM→.解：(1)原式可变形为OP→＝OM→＋(OA→－OP→)＋(OB→－OP→)＝OM→＋PA→＋PB→，∴OP→－OM→＝PA→＋PB→.∴PM→＝－PA→－PB→.∴P与M、A、B共面．(2)原式可变形为OP→＝2OA→＋OA→－OB→＋OA→－OM→＝2OA→＋BA→＋MA→，∴AP→＝－AO→－AB→－AM→，表达式中还含有AO→.∴P与A、B、M不共面．证明线面平行，其实质还是证明三向量共面．证明线面平行(本题满分14分)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点．求证：EF∥平面SAD.例3【思路点拨】本题可转化为证明向量EF→与平面SAD内的两个不共线向量共面．【规范解答】EF→＝EA→＋AS→＋SF→.而F是SC的中点，底面正方形ABCD中DC→＝AB→，因此SF→＝12SC→＝12(SD→＋DC→)＝12(SD→＋AB→)＝12SD→＋12AB→.6分又E是AB的中点，12AB→＝AE→＝－EA→，所以EF→＝AS→＋EA→＋12SD→－EA→＝－SA→＋12SD→.10分又SA→与SD→不共线，可知EF→、SA→、SD→共面．又EF不在平面SAD内，所以EF∥平面SAD.14分【名师点评】向量共面的条件是证明线面平行的一种重要、常用的方法，其基本方法是将直线与平面平行问题转化为直线上的向量与平面内两个不共线向量共面的问题，同时要说明该直线不在平面内．自我挑战2如图，在底面是菱形的四...