7.2空间几何体的表面积和体积一、选择题1.1.已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如上图所示)，则三棱锥B′－ABC的体积为()A.B.C.D.答案：D2．(·福建)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()解析： 体积为，而高为1，所以底面为一个直角三角形．答案：C3.正(侧)视图(·山东青岛调研)已知一个四棱锥的正视图(主视图)和侧视图(左视图)为两个完全相同的等腰直角三角形(如图所示)，腰长为1，则该四棱锥的体积为()A.B.C.D.解析：由于正视图(主视图)和侧视图(左视图)为两个全等的等腰直角三角形，则可知四棱锥底面为正方形，四个侧面为正三角形，底面两条对角线所在方向分别与观测者正视图和侧视图光线平行；其中底面正方形的边长为1，四棱锥的高为，所以该四棱锥的体积为.答案：C4．(·广东中山调研)已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是()A.B.C．14D．7解析：这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积V＝×(12＋＋22)×2＝.答案：A二、填空题5．(·天津)如上图是一个几何体的三视图．若它的体积是3，则a＝________.解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，∴V＝3×＝3⇒a＝.答案：6．若某几何体的三视图(单位：cm)如上图所示，则此几何体的体积是________cm3.解析：根据几何体的三视图，可知该几何体是由两个相同的长方体(3×3×1)组合而成的几何体，故其体积为18.答案：187．(·江苏南京调研)如下图是一个几何体的三视图(单位：m)，则几何体的体积为________．解析：如图所示，此几何体是一个以AA1，A1D1，A1B1为棱的长方体被平面BB1C1C截去后得到的，易得其体积为长方体的体积的§，因为长方体的体积为2×4×2＝16(m3)，故所求的体积为12m3.答案：12m3三、解答题8.如图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和三视图．(1)求该多面体的体积；(2)在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG.解答：(1)所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-(cm3)．(2)证明：在长方体ABCD—A′B′C′D′中，连结AD′，则AD′∥BC′.因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′.又BC′⊄平面EFG，所以BC′∥面EFG.9.已知某几何体的俯视图是如上图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解答：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如右图所示．(1)几何体的体积为：(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：左、右侧面的底边上的高为：.故几何体的侧面面积为：10．(·福建)如上图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E—ABD的侧面积．证明：(1)在△ABD中， AB=2，AD=4，∠DAB=60°，∴BD=，∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD.又 平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD=BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.又 DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)解答：由(1)知AB⊥BD， CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD，在Rt△DBE中， DB=2，DE=DC=AB=2，∴S△BDE=DB·DE=2.又 AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE. BE=BC=AD=4，∴S△ABE=§AB·BE=4， DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE=AD·DE=4综上，三棱锥E—ABD的侧面积S=8+2.1．(·创新题)一个空间几何体的三视图及其相关数据如上图所示，则这个空间几何体的表面积是()A.B.＋6C．11πD.＋3解析：这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，高为，母线长是2，其表面积是两个半圆，圆台侧面积的一半，和一个轴截面的面积之和，故S＝π×1...
